《数学广角》——重叠问题。
1、生活实例，渗透方法。
1、生活实例引入
请班里一名同学站起来）
师：咱们现在排队，某同学从前向后数他排第5个，从后向前数他也是第5个，那这队有有多少人呢？
猜想）生： 9人，10人，11人。
师：你怎样证明呢？
验证）生：（利用画图、算式，解决问题）
预设】生1：111101111 共有9人。
生2：4+1=5人，5+4=9人。
生3：5+5-1=9人。
师：有人提问吗？
生：第2位同学，4是哪来的？1是**来的？生解答：4是a同学前面的人数，后面的4是后面同学的人数，1是a同学。
2、图与算式相结合
师：大家一起看第3位同学写的算式，5+5-1=9人，大家有问题吗？
生：为什么减1？ 生：根据自己理解回答。
师：算式中第一个5在图中哪儿表示？第2个5在图中哪儿表示？
生：（板演动手，在图中圈出）
师：那你们发现什么？
生：前5位同学中有a同学，后5为同学中也有a同学。
师：但是咱们的a同学只有一个人，所以减1。
师：这个排队的问题，我们通过画图，圈图，列式计算成功解决了。
设计意图：使学生从一个实际问题出发，结合学生的生活经验，体会可以利用画图的方法解决实际问题，并使学生初步感知集合圈，激起学生的好奇心和学习新知的兴趣，为新课学习准备良好的条件。
二、情境引入，学习新知。
1、实例引入
师：今天咱们在排队的基础上探索一个新的问题。
板书课题：重叠问题）
老师说一个报兴趣班事情，根据老师大致了解，班里有5人参加合唱组，7人参加美术组，那这两组同学一共有多少人？
生：12人。
师：咱们用1个数字代表一个同学的学号。
依次数人数填表）
设计意图：依靠直观性原则，采用图表展示已知条件，帮助学生分析问题，为后面提出问题做铺垫。
2、创设问题，产生矛盾。
师：报合唱组和美术组的同学，还可能会出现什么新情况？
生：可能一位同学2个兴趣班。
师：如果其中有2位同学既报合唱组又报美术组，假如是4号和5号同学。
再填表：在美术组中加入4号和5号）这时合唱组有5人，美术组有9人。
出示学号磁片）
师：请两位同学把参加合唱组和美术组同学的学号对号入座。
预设】学生在摆4号和5号同学时，产生冲突，都想抢4号和5号同学到自己的组里。
设计意图：由学生创设问题情境，既让学生收集了解信息，又让学生交流自己的思考。而后通过学生的不同意见产生矛盾，引出探索解决的问题，有效地调动学生探索的欲望和积极性。
3、分析问题，解决矛盾。
师：这时候怎么办呢？两位同学都想抢4号和5号同学到自己的组里，可是号同学都只有一个人。
师号放在**好呢？
生：放在中间。
师：那他们俩是合唱组还是美术组的呢？你们有办法让大家一看就能清楚知道，选合唱组有5人，选美术组有9人，选合唱组和美术组有2人。
生：（圈两个圈）
师：我们用这个圈图，怎样列算式，就能解决合唱和美术组一共有多少人？
预设】列式1：3+2=5 5+9-2=12（人）
师：哪位同学有问题？
生：为什么减2？
生：合唱组有5人，美术组有9人，有两人既参加了合唱组，又参加了美术组，所以减2.
师：5里面有这个2吗？
生：有。师：9里面有这个2吗？
生：有。师：2被算了两次，但号只有两个人，所以减2。
列式2：5-2+9=12（人）
师：5-2是图中的哪部分？
师：大家同意吗？
师：看合唱和美术组都报名的同学，别算重了，可以先算到美术组中，在合唱组去掉这两个人。把5破坏，将2人算到9中。从中你受到哪些启发？
列式3：9-2+5=12（人）
师：我们看2，3式的思路是一样的，我们把这两个式子叫做“兄弟式”。
列式4：3+2+7=12（人）
师：谁能看的懂他的式子？
生：3人报了合唱组，7人报了美术组，2人既报了合唱组又报了美术组。
师：这个方法把这一群同学分了几组？
生：3组。师：看图中，这3人是合唱组的，那这2个人与3个人有什么区别？
生：既报合唱又报美术组。
师：什么是只报了合唱组？
生：除了合唱组，没报别的组。
师：我们通过画圆圈的方法，对学好进行了分类，分成只合不美，只美不合，又美又合。你们这样分，谁与谁都不重复。
设计意图：使学生经历猜测、推理、实验、观察、计算、验证等活动过程，经历发现问题，解决问题过程。引入集合图，让学生借助集合图弄清数量关系，寻找解决问题方法，经历利用集合的数学思想和方法解决问题过程。
学生交流在不同计算方法活动中，深刻感受到解决问题策略的多样性，提高学生的逻辑思维能力和学习能力，培养学生的问题意识和创新精神。
三、总结提升，拓展知识。
师：算式1，其中重复2，减去2。算式2，把2归为合唱组，加一个2。算式3，把2归为美术组，加一个2。算式4，分3类加。其中算式2，3是兄弟式。
师：我们是通过什么方法，能够分清楚哪个组，又能清楚地分析算式呢？
生：画圆圈。
师：比咱们同学画圈更早的人，大家知道是谁吗？
师：韦恩—韦恩图。
师：有2个人重复，那还可以有几个同学重复选课呢？
生：0，5，6，7...
出示圆圈点图）
师：咱用5个点表示合唱组，用7个点表示美术组。
请两位同学手拿点图，随着老师的描述，将点图重叠）
师：以前5是5，7是7。这时，有1人选了两门课，出现什么情况？
生：将两个点图中一个点重叠放。
依次2人，3人，4人选课两门课）
师：当5个人选两门课时，出现什么情况了？
生：小圈被大圈包围了。
师：最多可以有几人重复呢？
生：5个人。
师：会不会有6个人？会有7个人吗？
生：不会，点就出去了。
师：参加合唱组和美术组的同学人数咱们会了，有人只合不美，有人只美不合，有人又美又合。那参加别的课外班，咱们会算吗？
生：会。师：说吃的，玩的，会分吗？
生：会。师：那咱们能用字母表示吗？
生：有人只a不b，有人只b不a，有人又a又b。
师：其实ab在我们身边到处都是吧！
设计意图：抛出韦恩图拓展学生思路，初步体会集合思想，理解“韦恩图”中各部分表示的意义。学生借助动手操作，能利用集合的思想方法解决简单的实际问题，渗透集合中的包含关系，体会并集与交集。
通过整理总结，提升为字母表示，渗透数学模型思想，体会数学与生活的密切联系，培养学生对数学的积极情感，提高学习数学的兴趣。
4、练习巩固，落实新知。
书110页第1题。
生将相应的动物填入对应分类中。
第2题。弄清题意，学生用自己喜欢的算法解答问题。
设计意图：在学生有过借助直观图，利用集合的思想方法解决简单问题经历的基础上，放手让学生辨析集合图的含义，完成对一些动物的分类并填写，给学生提供再次感知、认识集合的思想方法的机会，加深对相应集合思想方法的体验。解决问题中，放手让学生用自己喜欢的方式，有效落实问题策略多样性的改革理念，提高学生解题的灵活性。
5、板书设计。
合唱组美术组。
5+9-2=12（人）
5-2+9=12（人）
9-2+5=12（人）
3+2+7=12(人)
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