(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16。
2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。
3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54，162。
4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填5，1。
5)的规律是：数列各项依次为。
1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4，所以应填5×5=25。
6)的规律是：数列各项依次为。
2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以，应填 5×6=30， 6×7=42。
说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。各数列的第n项分别可以表示为。
1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；
3)an＝2×3n-1；(4)an＝55-n；(5)an＝n2；(6)an＝n(n+1)。
这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1)的第100项等于3×100+1=301。本例中，数列(2)(4)只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。
例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。
2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。
3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填( 17+27=)44。
4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(8×32=)256。
例3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故。
a5=8+30=38。
2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。
3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以。
a6=2a5+1＝2×47+1＝95，a7＝2a6+1＝2×95+1=191。
例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
解：(1)数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17， 22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。故应填27，60。
2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，… 中，4后面的数应为2。故应填11，2。
练习5按其规律在下列各数列的( )内填数。
11.数列1，3，5，7，11，13，15，17。
1)如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？
2)如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？
答案与提示练习5
4.33。提示：“后项-前项”依次为1，2， 4，8，16，…
5.18。提示：后项等于前两项之和。
6.31。提示：“后项-前项”依次为2，4，6，8，10。
9.37。 提示：an=n2+1。
10. 24，15。提示：奇数项为15，18，21，24；偶数项为21，19，17，15。
11.(1)缺9，在7与11之间；(2)多15，因为除15以外都不是合数。
第6讲找规律(二)
这一讲主要介绍如何发现和寻找图形、数表的变化规律。
例1 观察下列图形的变化规律，并按照这个规律将第四个图形补充完整。
分析与解：观察前三个图，从左至右，黑点数依次为4，3，2个，并且每个图形依次按逆时针方向旋转90°，所以第四个图如右图所示。
观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律。
例2 在下列各**形中寻找规律，并按此规律在“？”处填上合适的数：
解：(1)观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故。
第三个图形中的“？”5×3×8÷2=60；
第四个图形中的“？”21×2)÷3÷2=7。
2)观察前两个图形中的已知数，发现有。
10=8+5-3， 8=7+4-3，即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故。
第三个图形中的“？”12+1-5=8；
第四个图形中的“？”7+1-5=3。
例3 寻找规律填数：
解：(1)考察上、下两数的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那个“？”35-16=19，下面那个“？”18+16=34。
2)从左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，…知，12下面的“？”7；一下一上看，由6，8，10，12，？，知，9下面的“？”14。
例4 寻找规律在空格内填数：
解：(1)因为前两图中的三个数满足：
256=4×64，72=6×12，所以，第三图中空格应填12×15=180；第四图中空格应填169÷13=13。第五图中空格应填224÷7=32。
2)图中下面一行的数都是上一行对应数的3倍，故43下面应填43×3=129；87上面应填87÷3=29。
例5在下列**中寻找规律，并求出“？”
解：(1)观察每行中两边的数与中间的数的关系，发现3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。
2)观察每列中三数的关系，发现1+3×2=7，7+2×2=11，所以，？=4+5×2=14。
例6 寻找规律填数：
解：(1)观察其规律知。
2)观察其规律知：
观察比较图形、图表、数列的变化，并能从图形、数量间的关系中发现规律，这种能力对于同学们今后的学习将大有益处。
练习6寻找规律填数：
6.下图中第50个图形是△还是○？
答案与提示。
练习61.5。提示：中间数=两腰数之和÷底边数。
2.45；1。提示：中间数= 周围三数之和×3。
3.(1)13。提示：中间数等于两边数之和。
(2)20。提示：每行的三个数都成等差数列。
4.横行依次为60，65，70，75，325；
竖行依次为40， 65， 90， 115， 325。
5.14。提示：(23＋ 5) ÷2=14。
9.36。提示：等于加式中心数的平方。
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