在前面学习了数列找规律的基础上，这一讲将从数表的角度出发，继续研究数列的规律性。
例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字。
分析与解答这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第5行中的括号内填20，第6行中的括号内填 24。
例2 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：① 这个三角阵的排列有何规律？② 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。③ 推断第20行的各数之和是多少？
分析与解答。
首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和。如：
2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=3＋3。
根据由①得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1。
要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。
至此，我们可以推断，第20行各数之和为219。
本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用]
例3 将自然数中的偶数2，4，6，8，10…按下表排成5列，问2000出现在哪一列？
分析与解答。
方法1：考虑到数表中的数呈s形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为b、c、d、e、d、c、b、a.因此，我们只要考察2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而1000÷8＝125，即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的a列。
方法2：仔细观察数表，可以发现：a列中的数都是16的倍数，b列中数除以16余2或者14，c列中的数除以16余4或12，d列的数除以16余6或10，e列中的数除以16余8.
这就是说，数表中数的排列与除以16所得的余数有关，我们只要考察2000除以16所得的余数就可以了，因为2000÷16=125，所以 2000位于a列。
学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法。一道题做完了，我们还应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要考察的问题是什么…这样学习才能举一反三，不断进步。
就例 3而言，如果把偶数改为奇数， 2000改为 1993，其他条件不变，你能很快得到结果吗？
例4 按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？ 1993呢？
分析与解答。
方法1：同例3的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只有8个数。（1500-9）÷8＝186…3（1993—9）÷8＝248
所以，1500位于第188组的第3个数，1993位于第249组的最后一个数，即1500位于第④列，1993位于第①列。
方法2：考虑除以8所得的余数。第①列除以8余1，第②列除以8余2或是8的倍数，第③列除以8余3或7，第④列除以8余4或6，第⑤列除以8余5；而1500÷8=187…4，1993÷8=249…1，则1993位于第①列，1500位于第④列。
例5 从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这九个数的和等于①1993；②1143；③1989.若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由。
分析与解答。
我们先来看这九个数的和有什么规律。仔细观察，容易发现：12+28＝2×20，13+27=2×20，14+26=2×20，19+21＝ 2 × 20，即：
20是框中九个数的平均数。因此，框中九个数的和等于20与9的乘积。事实上，由于数表排列的规律性，对于任意由这样的平行四边形框出的九个数来说，都有这样的规律，即这九个数的和等于平行四边形正中间的数乘以9。
因为1993不是9的倍数，所以不可能找到这样的平行四边形，使其中九个数的和等于1993。
1143÷9＝127，127÷8＝15…7.这就是说，如果1143是符合条件的九个数的和，则正中间的数一定是127，而127位于数表中从右边数的第2列。但从题中的图容易看出，平行四边形正中间的数不能位于第1行，也不能位于从左数的第1列、第2列、第7列和第8列，因此，不可能构成以127为中心的平行四边形。
1989÷9=221，221÷8=27…5，即1989是9的倍数，且数221位于数表中从左起的第5列，故可以找到九个数之和为1989的平行四边形，如图：
其中最大的数是229，最小的数是213.
习题一。1.观察下面已给出的数表，并按规律填空：
2.下面一张数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后，按照规律填空。
3.下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列？
4.从1开始的自然数如下排列，则第2行中的第7个数是多少？
习题一解答。
1.第5行的括号中填25；第6行的括号中填37。
2.这个数表的规律是：第二行的数等于相应的第三行的数与第一行的数的差的2倍。
即：8=2×（6—2），10＝2×（10—5），4=2×（9—7），18=2×（20—11）.因此，括号内填12。
3.1993应排在b列。
4.参看下表：
第2行的第7个数为30
在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题。在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。
例1 下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从a走到b处共有多少条最短路线？
分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母。如图4—2.在这里，首先我们应该明确从a到b的最短路线到底有多长？
从a点走到b点，不论怎样走，最短也要走长方形ahbd的一个长与一个宽，即ad＋db.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于ad；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于db.这样我们走的这条路线才是最短路线。
为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走。因此只能向右和向下走。
有些同学很快找出了从a到b的所有最短路线，即：
a→c→d→g→b a→c→f→g→b
a→c→f→i→b a→e→f→g→b
a→e→f→i→b a→e→h→i→b
通过验证，我们确信这六条路线都是从a到b的最短路线。如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的。
现在观察这种题是否有规律可循。
1.看c点：由a、由f和由d都可以到达c，而由f→c是由下向上走，由d→c是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线。因此，从a到c只有一条路线。
同样道理：从a到d、从a到e、从a到h也都只有一条路线。
我们把数字“1”分别标在c、d、e、h这四个点上，如图4—2。
2.看f点：从上向下走是c→f，从左向右走是e→f，那么从a点出发到f，可以是a→c→f，也可以是a→e→f，共有两种走法。
我们在图4—2中的f点标上数字“2”.2=1＋1.第一个“1”是从a→c的一种走法；第二个“1”是从a→e的一种走法。
3.看g点：从上向下走是d→g，从左向右走是f→g，那么从a→g
我们在g点标上数字“3”.3＝2+1，“2”是从a→f的两种走法，“1”是从a→d的一种走法。
4.看i点：从上向下走是f→i，从左向右走是h→i，那么从出发点。
在i点标上“3”.3=2+1.“2”是从a→f的两种走法；“1”是从a→h的一种走法。
5.看b点：从上向下走是g→b，从左向右走是i→b，那么从出发点a→b可以这样走：
共有六种走法。6=3＋3，第一个“3”是从a→g共有三种走法，第二个“3”是从a→i共有三种走法。在b点标上“6”。
我们观察图4—2发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点a到这点的所有最短路线的条数。这样，我们可以通过计算来确定从a→b的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”。
解：由上面的分析可以得到如下的规律：每个格右上角与左下角所标的数字和即为这格右下角应标的数字。我们称这种方法为对角线法，也叫标号法。
根据这种“对角线法”，b点标6，那么从a到b就有6条不同的最短路线（见图4—3）。
答：从a到b共有6条不同的最短路线。
例2 图4—4是一个街道的平面图，纵横各有5条路， 某人从a到b处（只能从北向南及从西向东），共有多少种不同的走法？
分析因为b点在a点的东南方向，题目要求我们只能从北向南及从西向东，也就是要求我们走最短路线。解：如图4—5所示。答：从a到b共有70种不同的走法。
例3 如图4—6，从甲地到乙地最近的道路有几条？
分析要求从甲地到乙地最近的道路有几条，也就是求从甲地到乙地的最短路线有几条。把各交叉点标上字母，如图4—7.这道题的图形与例1、例2的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的。
由甲→a有1种走法，由甲→f有1种走法，那么就可以确定从甲→g共有1＋1＝2（种）走法。
由甲→b有1种走法，由甲→d有1种走法，那么可以确定由甲→e共有1+1＝2（种）走法。
由甲→c有1种走法，由甲→h有2种走法，那么可以确定由甲→j共有1+2=3（种）走法。
由甲→g有2种走法，由甲→m有1种走法，那么可以确定从甲→n共有2＋1=3（种）走法。
从甲→k有2种走法，从甲→e有2种走法，那么从甲→l共有2＋2=4（种）走法。
从甲→n有3种走法，从甲→l有4种走法，那么可以确定从甲→p共有3＋4=7（种）走法。
从甲→j有3种走法，从甲→p有7种走法，那么从甲→乙共有3+7=10（种）走法。
解：在图4—7中各交叉点标上数，乙处标上10，则从甲到乙共有10条最近的道路。
例4 某城市的街道非常整齐，如图4—8所示，从西南角a处到东北角b处要求走最近的路，并且不能通过十字路口c（因正在修路）.问共有多少种不同的走法？
分析因为b点在a点的东北角，所以只能向东和向北走。为了叙述方便，在各交叉点标上字母，如图4—9.
从a→a1有1种走法，a→a11有1种走法，那么可以确定从a→a10共有1＋1=2（种）走法。
从a→a2有1种走法，a→a10有2种走法，那么可以确定从a→a9共有1+2=3（种）走法。
从a→a3有1种走法，a→a9有3种走法，那么可以确定从a→a8共有1+3=4（种）走法。
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