高三理科模拟试题2016.5.14
一、选择题：
若，其中，是虚数单位，则复数。
a． b． c． d．
答案：b．由已知，得，．
等差数列的前项和为，若，那么值的是。
a．130 b．65 c．70 d．以上都不对。
答案：a．下列四个命题中，正确的是。
a．若集合a，b满足，则。
b．给定命题，若“”为真，则“”为真。
c．设若，则。
d．在中，若，则是等腰三角形。
答案：a．已知函数在上为增函数，在上为减函数，则的极小值是。
a． b．1 c． d．
答案：c．，由题意可知，即，，当时，， 为增函数，故的极小值是．
若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为。
a．1.2b．1.3c．1.4d．1.5
答案：c．f (1.40625)=－0.054，f (1.4375)=0.162，由二分法可知其根近似于1.4．
右图是求样本平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为。
a． b． c． d．
答案：a．由于“输出”的前一步是“”，所以设置循环结构的目的就是求这个样本数据之和。故易判断知选项a正确。
某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是。
a．该市这次考试的数学平均成绩为80分。
b．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同。
c．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同。
d．该市这次考试的数学成绩标准差为10
答案：b．由题意可知此正态分布为，故a，c，d正确，b错误．
在中，若的形状一定是。
a.等边三角形 b.不含的等腰三角形 c.钝角三角形 d.直角三角形 答案：d．
a． b． c． d．
答案：b．原式。
某电视台连续**5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后**的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续**，则不同的**方式有。
a．120种 b．48种c．36种d．18种。
答案：c．分步完成：（1）确定前一个奥运宣传广告的位置，有3种方法；（2）确定2个奥运宣传广告的顺序，有种方法；（3）确定3个商业广告的顺序，有种方法．故共有种不同的**方式．
已知直线与圆：相交于、两点，且，则。
a． bcd．
答案：b．，
若直角坐标平面内的两个不同点足条件：①是在函数的图像上的两个点；②关于原点对称，则称点对为函数的一对“友好点对”．已知函数，此函数的“友好点对”有。
a．0对b．1对 c．2对d．3对。
解答】c. 由题意，当时，将的图像关于原点对称后的图像时的图像有两个交点，故“友好点对”的数量为2.
二、填空题：
已知正数，满足，则的最小值是。
答案：6．,当且仅当时取等号．
函数的部分图象如图所示，则。
答案：2，．
若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是。
答案：a． cm3．
一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在时刻测得它的影长为4米，在时刻的影长为1米．这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，问在、这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为（ ）
答案：2：1．如图，太阳光是平行光，在时刻的方向为，竹竿的影子为，不难想象，球的椭圆影子的短轴长等于球的直径，设椭圆的长轴为，将直径平移至，可证～，，同理可得，在时刻，．
三、解答题：
设等比数列的前n项和为，若，且是等差数列．
1）求的公比；
2）求数列的前项和．
解：（1）解法一：，由已知得，得，的公比。
解法二：由已知得，当时，，，则，与为等比数列矛盾；
当时，则，化简得：，，
2）由（1）得，设。
则。两式相减，得。
（2013广州市届测试）已知正方形的边长为2,分别是边的中点。
1)在正方形内部随机取一点，求满足的概率；
2)从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列。
解：(1)所有点构成的平面区域是正方形的内部，其面积是，满足的点构成的平面区域是以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，它可以看作是由一个以为圆心、为半径、 圆心角为的扇形的内部(即四分之一个圆)与两个直角边为1的等腰直角三角形(△和△)内部构成，其面积是，所以满足的概率为；
2)从这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段。 其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条。
所以所有可能的取值为，且， ,
所以的分布列为：
如图3，在三棱柱中，底面为正三角形，且，,点在下底面的射影是的中心o．
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
证明：（1）∵点在下底面上的射影是， ∴面，
又面1分。为正的中心，连接，有2分。
又面，面，且，面3分。
面4分。2）∵为正的中心，∴,在中，又5分。
如图，以直线为轴，以直线为轴，以过点垂直底面的直线为轴建立空间直角坐标系，……6分。
则， ,7分。
则8分。设平面的法向量为
解得9分 设平面的法向量为
解得10分。
11分。故所求二面角的平面角的余弦值为12分。
在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆的右焦点，已知点a（0，－2）与椭圆左顶点关于直线对称，且直线af的斜率为。
i）求椭圆的方程；
ii）过点q（－1,0）的直线l交椭圆于m，n两点，交直线＝－4于点e，，证明：为定值。
（本小题满分12分）
已知函数．ⅰ）求函数的最大值；
ⅱ）若函数与有相同极值点．
求实数的值；
若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围．
解1分。由得；由得。
在上为增函数，在上为减函数2分。
函数的最大值为3分。
由（1）知，是函数的极值点，又函数与有相同极值点， 是函数的极值点，解得4分。
经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意。 …5分，易知，即。
………7分。
由①知。当时，；当时，.
故在上为减函数，在上为增函数。
而。 ……9分。
当，即时，对于，不等式恒成立。
10分。当，即时，对于，不等式恒成立。
11分。综上，所求实数的取值范围为。……12分。
请考生从第三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。作答时请用2b铅笔将所选题号后的方框涂黑，并在括号内写上该题号。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲。
如图4，圆o的直径ab＝8，圆周上过点c的切线与ba的延长线交于点e，过点b作ac的平行线交ec的延长线于点p．
ⅰ）求证。ⅱ）若ec＝，求pb的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程。
设椭圆的右焦点f，过f且斜率为1的直线与椭圆交于a,b两点。
1）求|ab|；（2）p为椭圆上一动点， 求三角形pab的最大面积。
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
已知函数．ⅰ）解不等式；
ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围．
22.解：（1）证明1分。
2分。3分。
4分。(2)∵ec为圆o的切线，ec＝2，ab＝85分。
∴ec2＝ea·eb＝ea(ea＋ab)，∴ea＝26分。
∵∠eca＝∠abc，∴△ace∽△cbe7分。
∵ab为圆o的直径，∴∠acb＝90°，∴ac2＋bc2＝ab2．
∴ac9分。
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