第一讲实数。
基础知识回顾】
一、实数的分类：
1．按实数的定义分类：
2．按实数的正负分类：
名师提醒】：
1．正确理解实数的分类。如：是数，不是数；是数，不是数。
2．0既不是数，也不是数，但它是自然数。
二、实数的基本概念和性质。
1．数轴：规定了的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的三要素是。
2．相反数：只有不同的两个数叫做互为相反数，a的相反数是 ，0的相反数是 ，a、b互为相反数
3．倒数：实数a的倒数是没有倒数，a、b互为倒数
4．绝对值：在数轴上表示一个数的点离开的距离叫做这个数的绝对值。
因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是数，我们学过的非负数有三种。
名师提醒】：
a+b的相反数是 ，a-b的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 。
三、科学记数法、近似数和有效数字。
1．科学记数法：把一个较大或较小的数写成的形式叫做科学记数法。其中a的取值范围是n为整数。
2．近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
名师提醒】：
1．科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a的取值范围一样，n的取值不同，当表示较大数时，n的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。
2．近似数3.05万是精确到位，而不是百分位。
四、数的开方。
1．若，则x叫做a的 ，记做±，其中正数a的平方根叫做a的算术平方根，记做 ，正数有个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数平方根。
2．若x3=a,则x叫做a的 ，记做，正数有一个的立方根，0的立方根是 ，负数立方根。
名师提醒：平方根等于本身的数有个，算术平方根等于本身的数有立方根等于本身的数有。
五、常见的三角函数值。
1.锐角三角函数的几何意义：某角的正弦值等于对边比斜边，余弦值等于相邻直角边比斜边，正切值等于对边比相邻直角边，余切值等相邻直角边比对边。
正弦用sin表示，余弦用cos表示，正切用tan表示，余切用cot表示。
例如：在rt△abc中。
2、三角函数间关系。
2.特殊角的三角函数值。
六、实数的运算。
1．基本运算：
初中阶段我们学习的基本运算有和共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算，按照的顺序依次进行。
2．运算法则：
加法：同号两数相加，取的符号，并把相加，异号两数相加，取的符号，并用较大的减去较小的，任何数同零相加仍得。
减法：减去一个数等于。
乘法：两数相乘，同号得异号得并把相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的。
乘方：(-a) 2n +1a) 2n
3．运算定律：
加法交换律：a+b
加法结合律：(a+b)+c
乘法交换律：ab
乘法结合律：（ab）c
分配律： （a+b）c
七、零指数、负整数指数幂。
a≠0a-pa≠0）
名师提醒】1．实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。
2．注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（）1=
八、实数的大小比较：
1．比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照的原则进行比较以外，，还有比较法比较法等，两个负数大的反而小。
2．如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为。
名师提醒】比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较的和大小，可以先确定和的取值范围，然后得结论： +2 -2。
重点考点例析】
考点一：负数的意义。
例1． 陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，高出海平面8848m，记为+8848m；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415m，记为（ ）
例2． （2016金华）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
a．φ45.02 b．φ44.9 c．φ44.98 d．φ45.01
考点】正数和负数．
分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
解答】解：∵45+0.03=45.03，45﹣0.04=44.96，零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤5.03．
44.9不在该范围之内，不合格的是b．
故选：b．点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．
跟踪训练。1． （2015广西崇左）一个物体作左右方向的运动，规定向右运动4m记作+4m，那么向左运动4m记作（ ）
2． （2015·湖北咸宁）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
考点二：实数的分类。
例3．（2 分） （2016沈阳）下列各数是无理数的是（ ）
a．0 b．﹣1 c． d．
考点】无理数．菁优网版权所有。
分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解答】解：0，﹣1，是有理数，是无理数，故选：c．
点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
跟踪训练。1．（2016贺州）下列实数中，属于有理数的是（ ）
a．﹣ b． c．π d．
2．（2016宜昌）下列各数：1.414，，﹣0，其中是无理数的为（ ）
a．1.414 b． c．﹣ d．0
考点。三、数轴。
例4．（2016南京）数轴上点a、b表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（ ）
a．﹣3+5b．﹣3﹣5c．|﹣3+5d．|﹣3﹣5|
考点】绝对值；数轴．
分析】由距离的定义和绝对值的关系容易得出结果．
解答】解：∵点a、b表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离=|﹣3﹣5|=8，故选：d．
点评】本题考查绝对值的意义、数轴上两点间的距离；理解数轴上两点间的距离与绝对值的关系是解决问题的关键．
跟踪训练。1． （2016金华）若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）
a．a＜0b．ab＜0 c．a＜bd．a，b互为倒数。
2． （2015永州，第1题3分）在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为a和b，则a和b两点间的距离为（ ）
3． （2015四川成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为（ ）
a．a+b b． a﹣b c． b﹣a d． ﹣a﹣b
考点。四、相反数。
例5．（2016南宁）﹣2的相反数是（ ）
a．2 b．﹣2 c． d．
考点】相反数．
分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
解答】解：﹣2的相反数是：﹣（2）=2，故选a
点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
跟踪训练。1． （2016包头）若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（ ）
a．﹣1b．﹣ c．﹣5d．
2．（2016济南）5的相反数是（ ）
a． b．5 c．﹣ d．﹣5
考点。五、绝对值。
例6．（2016宿迁）（2016新疆）（2016贵港）﹣2的绝对值是（ ）
a．﹣2 b．﹣ c． d．2
考点】绝对值．
分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．
解答】解：∵﹣2＜0，|﹣2|=﹣2）=2．
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