44、（2013株洲）已知在△abc中，∠abc=90°，ab=3，bc=4．点q是线段ac上的一个动点，过点q作ac的垂线交线段ab（如图1）或线段ab的延长线（如图2）于点p．
1）当点p**段ab上时，求证：△apq∽△abc；
2）当△pqb为等腰三角形时，求ap的长．
45、（2013福省福州21）如图，等腰梯形abcd中，ad∥bc，∠b=45°，p是bc边上一点，△pad的面积为，设ab=x，ad=y
1）求y与x的函数关系式；
2）若∠apd=45°，当y=1时，求pbpc的值；
3）若∠apd=90°，求y的最小值．
46、（2013苏州）如图，点p是菱形abcd对角线ac上的一点，连接dp并延长dp交边ab于点e，连接bp并延长交边ad于点f，交cd的延长线于点g．
1）求证：△apb≌△apd；
2）已知df：fa=1：2，设线段dp的长为x，线段pf的长为y．
求y与x的函数关系式；
当x=6时，求线段fg的长．
47、（2013衢州）【提出问题】
1）如图1，在等边△abc中，点m是bc上的任意一点（不含端点b、c），连结am，以am为边作等边△amn，连结cn．求证：∠abc=∠acn．
类比**】2）如图2，在等边△abc中，点m是bc延长线上的任意一点（不含端点c），其它条件不变，（1）中结论∠abc=∠acn还成立吗？请说明理由．
拓展延伸】3）如图3，在等腰△abc中，ba=bc，点m是bc上的任意一点（不含端点b、c），连结am，以am为边作等腰△amn，使顶角∠amn=∠abc．连结cn．试**∠abc与∠acn的数量关系，并说明理由．
48、（2013绍兴）在△abc中，∠cab=90°，ad⊥bc于点d，点e为ab的中点，ec与ad交于点g，点f在bc上．
1）如图1，ac：ab=1：2，ef⊥cb，求证：ef=cd．
2）如图2，ac：ab=1：，ef⊥ce，求ef：eg的值．
49、(2024年广东省8分、22)如题22图，矩形abcd中，以对角线bd为一边构造一个矩形bdef,使得另一边ef过原矩形的顶点c.
1)设rt△cbd的面积为s1, rt△bfc的面积为s2, rt△dce的面积为s3 ,
则s1___s2+ s3(用“>”填空)；
2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明。
50、(2024年广东省9分、25压轴题)有一副直角三角板，在三角板abc中，∠bac=90°,ab=ac=6,在三角板def中，fde=90°,df=4,de=.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放，点b与点f重合，直角边ba与fd在同一条直线上。现固定三角板abc,将三角板def沿射线ba方向平行移动，当点f运动到点a时停止运动。
(1)如题25图(2),当三角板def运动到点d与点a重合时，设ef与bc交于点m,则∠emc=__度；
2)如题25图（3），在三角板def运动过程中，当ef经过点c时，求fc的长；
3)在三角板def运动过程中，设bf=,两块三角板重叠部分面积为，求与的函数解析式，并求出对应的取值范围。
51、（2013遵义）如图，在rt△abc中，∠c=90°，ac=4cm，bc=3cm．动点m，n从点c同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿ca、cb向终点a，b移动，同时动点p从点b出发，以每秒2cm的速度沿ba向终点a移动，连接pm，pn，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
1）当t为何值时，以a，p，m为顶点的三角形与△abc相似？
2）是否存在某一时刻t，使四边形apnc的面积s有最小值？若存在，求s的最小值；若不存在，请说明理由．
52、（2013泰州）如图，在矩形abcd中，点p在边cd上，且与c、d不重合，过点a作ap的垂线与cb的延长线相交于点q，连接pq，m为pq中点．
1）求证：△adp∽△abq；
2）若ad=10，ab=20，点p在边cd上运动，设dp=x，bm2=y，求y与x的函数关系式，并求线段bm的最小值；
3）若ad=10，ab=a，dp=8，随着a的大小的变化，点m的位置也在变化．当点m落在矩形abcd外部时，求a的取值范围．
53、（2013呼和浩特）如图，在边长为3的正方形abcd中，点e是bc边上的点，be=1，∠aep=90°，且ep交正方形外角的平分线cp于点p，交边cd于点f，1）的值为 ；
2）求证：ae=ep；
3）在ab边上是否存在点m，使得四边形dmep是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
54、（2013泰安）如图，四边形abcd中，ac平分∠dab，∠adc=∠acb=90°，e为ab的中点，1）求证：ac2=abad；
2）求证：ce∥ad；
3）若ad=4，ab=6，求的值．
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