2023年1月***的高中数学组卷。
一．选择题（共6小题）
1．（2013湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）
2．已知是单位向量，且满足，则向量在方向上的投影是（ ）
3．（2013湖南）在等腰直角三角形abc中，ab=ac=4，点p是边ab边上异于ab的一点，光线从点p出发，经bc，ca反射后又回到点p（如图1），若光线qr经过△abc的重心，则ap等于（ ）
4．（2013天津）函数f（x）=2﹣x|log0.5x|﹣1的零点个数为（ ）
5．（2013重庆）已知圆c1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆c2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，m，n分别是圆c1，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm|+|pn|的最小值为（ ）
6．（2013山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（ ）
二．填空题（共9小题）
7．已知向量均为单位向量，它们的夹角为45°，实数x、y满足，则y的取值范围是。
8．（2011浙江模拟）已知向量满足，，则向量的夹角的取值范围是。
9．已知两个单位向量与的夹角为120°，若，则实数λ的取值范围是。
10．已知实数a，b，c满足a+2b﹣c=1，则a2+b2+c2的最小值是。
11．（2013四川）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是用数字作答）．
12．（2013天津）设a+b=2，b＞0，则当a时，取得最小值．
13．在平面直角坐标系中，o是坐标原点，若两定点a，b满足||=2，则点集所表示的区域的面积是。
14．（2008临沂二模）的展开式中x4项的系数为210，则实数a的值为。
15．已知圆c1：x2+y2=1与圆c2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=1，过动点p（a，b）分别作圆c1、圆c2的切线pm、pn（m、n分别为切点），若pm=pn，则+的最小值是。
三．解答题（共14小题）
16．（2013湖南）过抛物线e：x2=2py（p＞0）的焦点f作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与e交于点a，b，l2与e交于c，d，以ab，cd为直径的圆m，圆n（m，n为圆心）的公共弦所在直线记为l．
i）若k1＞0，k2＞0，证明：；
ii）若点m到直线l的距离的最小值为，求抛物线e的方程．
17．（2009枣庄一模）如图，曲线c1：=1（b＞a＞0，y≥0）与抛物线c2：x2=2py（p＞0）的交点分别为a，b，曲线c1与抛物线c2在点a处的切线分别为l1和l2，且斜率分别为k1和k2．
i）k1k2是否与p无关？若是，给出证明；若否，给以说明；
ⅱ）若l2与y轴的交点为d（0，﹣2），当a2+b2取得最小值9时，求曲线c1与抛物线c2的方程．
18．如图所示，f是抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，点r（1，4）为抛物线内一定点，点q为抛物线上一动点，|qr|+|qf|的最小值为5．
1）求抛物线方程；
2）已知过点p（0，﹣1）的直线l与抛物线x2=2py（p＞0）相交于a（x1，y1）、b（x2，y2）两点，l1、l2分别是该抛物线在a、b两点处的切线，m、n分别是l1、l2与直线y=﹣1的交点．求直线l的斜率的取值范围并证明|pm|=|pn|．
19．（2013四川）已知函数，其中a是实数，设a（x1，f（x1）），b（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．
i）指出函数f（x）的单调区间；
ii）若函数f（x）的图象在点a，b处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；
iii）若函数f（x）的图象在点a，b处的切线重合，求a的取值范围．
20．已知椭圆c的中心在坐标原点o，焦点在x轴上，离心率为，p为椭圆上一动点．f1、f2分别为椭圆的左、右焦点，且△pf1f2面积的最大值为．
i）求椭圆c的方程；
ii）设直线l与圆x2+y2=1相切且与椭圆c相交于a、b两点，求的取值范围．
21．（2013天津）已知函数f（x）=x2lnx．
ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
ⅲ）设（ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．
22．（2011焦作一模）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx（a∈r）．
ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
ⅱ）当a=1时，证明：（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0．
23．（2013天津）已知首项为的等比数列不是递减数列，其前n项和为sn（n∈n*），且s3+a3，s5+a5，s4+a4成等差数列．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设，求数列的最大项的值与最小项的值．
24．（2013北京）设l为曲线c：y=在点（1，0）处的切线．
ⅰ）求l的方程；
ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线c在直线l的下方．
25．（2013北京）已知a，b，c是椭圆w：上的三个点，o是坐标原点．
ⅰ）当点b是w的右顶点，且四边形oabc为菱形时，求此菱形的面积；
ⅱ）当点b不是w的顶点时，判断四边形oabc是否可能为菱形，并说明理由．
26．（2013北京）已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为an，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为bn，dn=an﹣bn．
ⅰ）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈n*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；
ⅱ）设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为是公差为d的等差数列；
ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…）则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
27．（2013安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间i=
ⅰ）求i的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α
ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求i长度的最小值．
28．（2013江西）如图，四棱锥p﹣abcd中，pa⊥平面abcd，e为bd的中点，g为pd的中点，△dab≌△dcb，ea=eb=ab=1，pa=，连接ce并延长交ad于f
1）求证：ad⊥平面cfg；
2）求平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值．
29．（2012山东）在平面直角坐标系xoy中，f是抛物线c：x2=2py（p＞0）的焦点，m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点，过m，f，o三点的圆的圆心为q，点q到抛物线c的准线的距离为．
ⅰ）求抛物线c的方程；
ⅱ）是否存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由；
ⅲ）若点m的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线c有两个不同的交点a，b，l与圆q有两个不同的交点d，e，求当≤k≤2时，|ab|2+|de|2的最小值．
2023年1月***的高中数学组卷。
参***与试题解析。
一．选择题（共6小题）
1．（2013湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）
2．已知是单位向量，且满足，则向量在方向上的投影是（ ）
3．（2013湖南）在等腰直角三角形abc中，ab=ac=4，点p是边ab边上异于ab的一点，光线从点p出发，经bc，ca反射后又回到点p（如图1），若光线qr经过△abc的重心，则ap等于（ ）
4．（2013天津）函数f（x）=2﹣x|log0.5x|﹣1的零点个数为（ ）
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