一．选择题（共2小题）
1．（2013湖南）在等腰直角三角形abc中，ab=ac=4，点p是边ab边上异于ab的一点，光线从点p出发，经bc，ca反射后又回到点p（如图1），若光线qr经过△abc的重心，则ap等于（ ）
2．（2013广东）设整数n≥4，集合x=．令集合s=．若（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，则下列选项正确的是（ ）
二．填空题（共6小题）
3．（2013浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈r．若、的夹角为30°，则的最大值等于。
4．（2013湖南）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
1）记集合m=，则（a，b，c）∈m所对应的f（x）的零点的取值集合为。
2）若a，b，c是△abc的三条边长，则下列结论正确的是写出所有正确结论的序号）
x∈（﹣1），f（x）＞0；
x∈r，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
若△abc为钝角三角形，则x∈（1，2），使f（x）=0．
5．（2013天津）设a+b=2，b＞0，则当a时，取得最小值．
6．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内不是单调函数，则实数m的取值范围。
7．（2013广东）（几何证明选讲选做题）
如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bc=cd，过c作圆o的切线交ad于e．若ab=6，ed=2，则bc
8．等差数列的前n项和为sn，已知s10=0，s15=25，则nsn的最小值为。
三．解答题（共21小题）
9．（2013浙江）已知a∈r，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．
1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．
10．（2013湖南）过抛物线e：x2=2py（p＞0）的焦点f作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与e交于点a，b，l2与e交于c，d，以ab，cd为直径的圆m，圆n（m，n为圆心）的公共弦所在直线记为l．
i）若k1＞0，k2＞0，证明：；
ii）若点m到直线l的距离的最小值为，求抛物线e的方程．
11．如图所示，f是抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，点r（1，4）为抛物线内一定点，点q为抛物线上一动点，|qr|+|qf|的最小值为5．
1）求抛物线方程；
2）已知过点p（0，﹣1）的直线l与抛物线x2=2py（p＞0）相交于a（x1，y1）、b（x2，y2）两点，l1、l2分别是该抛物线在a、b两点处的切线，m、n分别是l1、l2与直线y=﹣1的交点．求直线l的斜率的取值范围并证明|pm|=|pn|．
12．（2013湖南）已知a＞0，函数．
i）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
ii）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
13．已知等比数列的前n项和sn=2n﹣a，n∈n*．设公差不为零的等差数列满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比．
ⅰ） 求a及bn；
ⅱ） 设数列的前n项和为tn．求使tn＞bn的最小正整数n的值．
14．（2009聊城二模）已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．
1）若函数f（x）在区间[1，+∞内单调递增，求a的取值范围；
2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．
15．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2﹣6x+1．
ⅰ）求函数y=的单调递增区间；
ⅱ）求函数f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
ⅲ）试判断方程lnx=（其中e=2.718…）是否有实数解？并说明理由．
16．已知函数f（x）=2（a﹣1）ln（x﹣1）+x﹣（4a﹣2）lnx，其中实数a为常数．
ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间；
ⅱ）设函数y=f（ex）有极大值点和极小值点分别为x1、x2，且x2﹣x1＞ln2，求a的取值范围．
17．（2013湛江一模）设函数f（x）=x（ex﹣2）﹣ax2（x≥0），其中e是自然对数的底，a为实数．
1）若a=1，求f（x）的单调区间；
2）当a≠1时，f（x）≥﹣x恒成立，求实数a的取值范围．
18．（2006江西）已知数列满足：a1=，且an=（n≥2，n∈n*）．
1）求数列的通项公式；
2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2…an＜2n！
19．已知数列的前n项和为sn，且对一切正整数n都有sn=n2+an．
1）证明：an+1+an=4n+2；
2）求数列的通项公式；
3）设f（n求证：f（n+1）＜f（n）对一切n∈n×都成立．
20．（2013广东）设数列的前n项和为sn，已知a1=1，，n∈n*．
1）求a2的值；
2）求数列的通项公式；
3）证明：对一切正整数n，有．
21．（2013广东）设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈r）．
1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值m．
22．（2013广东）如图1，在等腰直角三角形abc中，∠a=90°，bc=6，d，e分别是ac，ab上的点，，o为bc的中点．将△ade沿de折起，得到如图2所示的四棱椎a′﹣bcde，其中a′o=．
1）证明：a′o⊥平面bcde；
2）求二面角a′﹣cd﹣b的平面角的余弦值．
23．（2013辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，i）求证：；
ii）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
24．（2013辽宁）如图，抛物线c1：x2=4y，c2：x2=﹣2py（p＞0），点m（x0，y0）在抛物线c2上，过m作c1的切线，切点为a，b（m为原点o时，a，b重合于o），当x0=1﹣时，切线ma的斜率为﹣．
i）求p的值；
ii）当m在c2上运动时，求线段ab中点n的轨迹方程（a，b重合于o时，中点为o）．
25．（2013嘉兴二模）如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点p是抛物线c1上的动点．
ⅰ）求抛物线c1的方程及其准线方程；
ⅱ）过点p作抛物线c2的两条切线，m、n分别为两个切点，设点p到直线mn的距离为d，求d的最小值．
26．已知点d（0，﹣2），过点d作抛线c1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点a在第一象限，如图．
1）求切点a的纵坐标；
2）若离心率为的椭圆c：+=1（a＞b＞0）恰好经过切点a，设切线l交椭圆的另一点为b，记切线l，oa，ob的斜率分别为k，k2，k3，若2k1+k2=3k，求抛物线c1和椭圆c2的方程．
3）设p、q分别是（2）中的椭圆c2的右顶点和上顶点，m是椭圆c2在第一象限的任意一点，求四边形opmq面积的最大值以及此时m点的坐标．
27．定义f（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞
ⅰ）令函数f（x）=f（1，log2（x2﹣4x+9））的图象为曲线c1，过坐标原点o向曲线c1作切线，切点为b（n，t）（n＞0），求点b的坐标；
ⅱ）令函数g（x）=f（1，log2（x3+ax2+bx+1））的图象为曲线c2，若存在实数b使得曲线c2在x0（﹣4＜x0＜﹣1）处有斜率为﹣8的切线，求实数a的取值范围；
ⅲ）当x，y∈n*且x＜y时，证明f（x，y）＞f（y，x）．
28．（2008山东）如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），m为直线y=﹣2p上任意一点，过m引抛物线的切线，切点分别为a，b．
ⅰ）求证：a，m，b三点的横坐标成等差数列；
ⅱ）已知当m点的坐标为（2，﹣2p）时，．求此时抛物线的方程；
ⅲ）是否存在点m，使得点c关于直线ab的对称点d在抛物线x2=2py（p＞0）上，其中，点c满足（o为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点m的坐标；若不存在，请说明理由．
29．已知函数f（x）=ex﹣ln（x+m）
ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．
参***与试题解析。
一．选择题（共2小题）
1．（2013湖南）在等腰直角三角形abc中，ab=ac=4，点p是边ab边上异于ab的一点，光线从点p出发，经bc，ca反射后又回到点p（如图1），若光线qr经过△abc的重心，则ap等于（ ）
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