海淀区高三年级第一学期期末练习。
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1）复数 (
a） （bcd）
2）如图，正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点。那么
ab） cd）
3）若数列满足：，，则数列的前项和数值最大时，的值是
a）6b）7c）8d）9
4）已知平面，，直线，若，，则。
a）垂直于平面的平面一定平行于平面
b）垂直于直线的直线一定垂直于平面。
c）垂直于平面的平面一定平行于直线
d）垂直于直线的平面一定与平面，都垂直。
5）函数的部分图象如图所示，那么 （
ab） （cd）
6）执行如图所示的程序框图，输出的值为。
a）5b）6
c）7d）8
7）已知函数，那么下列命题中假命题是。
a）既不是奇函数也不是偶函数 （b）在上恰有一个零点
c）是周期函数d）在上是增函数。
8）点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 （
a）圆b）椭圆。
c）双曲线的一支d）直线。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
9）的展开式中的系数是用数字作答）
10）若实数满足则的最大值为。
11）抛物线过点，则点到此抛物线的焦点的距离为。
12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是气温波动较大的城市是。
13）已知圆：，过点的直线将圆分成弧长之比为的两段圆弧，则直线的方程为。
14）已知正三棱柱的正（主）视图和侧（左）视图如图所示。 设的中心分别是，现将此三棱柱绕直线旋转，射线旋转所成的角为弧度（可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为，则函数的最大值为最小正周期为。
说明：“三棱柱绕直线旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，旋转所成的角为负角。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15）（本小题满分13分）
在中，角，，所对的边分别为，，，
ⅰ）求及的值；
ⅱ）若，求的面积。
16)（本小题满分13分）
为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛。 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序。通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛。
ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望。
(17)（本小题满分14分）
在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，平面平面。
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；
ⅲ）在棱上是否存在点使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
(18)（本小题满分13分）
已知函数，其中是常数。
ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围。
(19)（本小题满分14分）
已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为椭圆的左顶点。
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点。
ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小；
ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由。
20)（本小题满分14分）
已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底。
ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；
ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底。
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