2011—2012学年度下学期期末考试。
高一数学试题。
时量：120分钟满分：150 分（必考i部分100分，必考ii部分50分）
必考i部分。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列命题正确的是b ）
a.第一象限角是锐角b.相等向量一定共线。
c.终边相同的角一定相等d.小于的角是锐角。
2．sin(-3300)的值为c ）
a． b． c． d．
3. 若为角终边上一点，则a ）
a． b． c． d．
4. 函数的最小正周期是b ）
ab． cd．
5．如图，，为互相垂直的单位向量，则向量可表示为c )
ab． cd．
6. 已知平面向量，且，则d ）
a．－3 b． 3 c．－1 d．1
7. 在四边形中，如果，且，则四边形的形状为 （ c ）
a. 梯形 b. 菱形 c. 长方形 d. 正方形。
8.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式为 ( d )
a. b.
c. d.
二、填空题：本大题共６个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上。
10．设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是 2 .
11. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则。
12.已知且，则在方向上的投影为。
13.已知，且，则＝.
14. 设函数的图象为，给出下列命题：
图象关于直线对称； ②函数在区间内是增函数；
函数是奇函数图象关于点对称。
其中，正确命题的编号是 ① 写出所有正确命题的编号）
三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本题满分10分）
已知，，求，的值。
解：∵，16.（本题满分10分）
已知。1）若的夹角为45°，求；
2）若，求与的夹角。解：（1
17.（本小题满分12分）
已知函数。1）求函数的单调递增区间；
2）求的最大值及取最大值时的集合。
解：由已知，.
１）由，，得增区间为。
２）当，，即时，取最大值，此时的集合为。
18.（本小题满分12分）
已知向量，函数的图象的两相邻对称轴间的距离为。
1）求的值；
2）若，，求的值；
3）若，且有且仅有一个实根，求实数的值。
解：由题意，
1）∵两相邻对称轴间的距离为，，
2）由（1）得，3），且余弦函数在上是减函数， ∴令=，，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象，可知。
必考ii部分。
19．(本小题满分12分)
在等差数列和等比数列中，，的前10项和。
1）求和；2）现分别从和的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
解：（1）由是等差数列得，，又，.
又是等比数列，且，.
2）因为前3项为1，2，3，前3项为1，2，4，所以基本事件为：
共9种，设两项值相等为事件a，则事件a包括2种：（1，1），（2，2）,20．(本小题满分12分)
已知，1）若，求的取值范围；
2）若是以2为周期的偶函数，且当时，，当时，求函数的取值范围。
解：（1）由， 得。
由。因为，所以。
由，得。2）当时，因此。
由单调性可得，函数的取值范围为。
21．(本小题满分13分)
如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，ad⊥pd，bc=1，pc=2，pd=cd=2.
1）求异面直线pa与bc所成角的正切值；
2）证明平面pdc⊥平面abcd；
3）求直线pb与平面abcd所成角的正弦值。
解：（1）如图，在四棱锥中，因为底面是矩形，所以且，又因为，故为异面直。
线与所成的角。
在中，所以，异面直线pa与bc所成角的正切值为2.
2）证明：由于底面是矩形，故，又由于，因此平面pdc,而平面，所以平面平面。
3）在平面内，过点p作交直线cd于点e，连接eb.
由于平面平面，而直线cd是平面与平面的交线，故平面，由此得为直线pb与平面所成的角。
在中，由于可得。
在中，由平面，得平面，因此，在中，.
在中，.所以直线pb与平面abcd所成的角的正弦值为。
22．(本小题满分13分)
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向300km的海面p处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？
解：设在t时刻台风中心位于点q，此时，台风侵袭范围的圆形区域半径为，由，可知，在 △opq中，由余弦定理，得。
若城市受到台风的侵袭，则有，即。
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