一、填空题(本题16分，每空 2 分)
1. 若s(x)是三次样条函数，则3 ， 3 ， 1．
2. 求积公式的代数精度为 2 。
3. 设则，cond(a)=21
4. 矩阵的lu分解为。
5. 求方程根的牛顿迭代格式是。
二、(12分)求不超过4次的多项式，使它满足插值条件。
若上述数据**于f (x)，给出误差估计。
解法1： 因为则先构造两点三次埃米特插值，8分。
又设，代入得a=1/2,
余项为 r(x12分。
解法2：构造带重节点的newton差商表。
2 2 1 0 0 1/28分。
12分。三、 (12分) 求在区间[-1，1]上的最佳平方逼近2次多项式。 (用勒让德正交多项式)
解：用勒让德多项式，3分。
计算：8分。
故最优平方逼近函数为：
12分。四、 (12分)用romberg求积的方法， 计算积分， (计算到龙贝格序列的第6个近似值)
本题只要对积分使用romberg算法，10分。
计算到r1，结果如下表所示：
因此12分。
五、(12分)设方程组， （
证明解此方程的jacobi迭代法与gauss-seidel迭代法同时收敛或发散。
解：jacobi迭代为2分。
其迭代矩阵。
谱半径为6分。
而gauss-seidel迭代法为。
其迭代矩阵，其谱半径为10分。
由于，故jacobi迭代法与gauss-seidel法同时收敛或同时发散。
………12分。
六、(12分)设方程有根，且。试证明由迭代格式。
产生的迭代序列对任意的初值，当时，均收敛于方程的根。
证明：设2分。
则，故5分。
从而可知，当时10分。
即，从而由压缩映像定理可知结论成立12分。
七、(12分) 用经典的四阶龙格-库塔方法求初值问题，取步长h=0.4,计算，计算过程保留四位小数。
解：评分标准： 公式：2分； 计算结果： 2分/个。
八、(12分) 设有n阶矩阵a， p是最接近于a的特征值的一个常数，试简述如何用数值方法求a的与p最接近的那个特征值。
答：（每步3分）
第一步：将(a-pi)进行三角分解，(a-pi)=lu，(或p(a-pi)=lu，其中p为排列阵）．
第二步：由uv1=(1,1,…,1)t，解方程组求得v1,u1，其中。
第三步：由luv2=pu1（或luv2=pu1 ）,解方程组求得v2,u2，其中，……
2023年下学期数理统计考试试卷 A
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