第四章解直角三角形题型训练之7
知识点】构造或利用相似三角形来计算一些不能直接到达或不能直接测量的物体的长度是一种常用方法，主要利用相似三角形对应边成比例。
例4.1】如图，火焰的光线穿过小孔口，在竖直的屏幕上形成倒立的像，像的长度为，，，则火焰的长度。
解】 因为∽,所以。
即： 故火焰的长度为。
训练4.1 】如图4.2，是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距墙米，梯子上一点距离墙米，长米，求梯子的长为多少米？
训练4.2】如图4.3，有一池塘，要测量池塘两端距离，可先在平地上取一个可以直接到达和的点，连接，并延长到，使，连结并延长到，使，连，若测得的长为，则池塘的宽为。
训练4.3】如图4.4，为了估算河的宽度，可以在河对岸岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使得，然后选点，使，确定与交点为点，测得，，，则为多少？
训练4.4】如图4.5，小明用这样的方法测量建筑物的高度：
先在地面上放一面镜子，他刚好能从镜子中看到建筑物的顶端，他的眼睛距地面，若小明与镜子距离为，镜子距建筑物距离为，那么建筑物高为多少米？
举一反四》题型训练之3——测量（3）
知识点】在直角三角形中，利用勾股定理，或利用角度可以进行测量，很多时候要用到方程思想，一般要画简图，方便理解题意。
例4.2】一棵很直的椰子树，高为10米，台风吹来，把椰子树吹折成了两段，上段的树梢刚好触地，着地点距树底部3米，问椰子树在多高处被吹断？
解】 设在高米处被吹断，则上段为米，由勾股定理得。
解得：米。答：椰子树在4.55米处被吹断。
训练4.5】张华想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的旗绳垂到地面上还多了两米，当他把绳子的下端拉开6米后，发现旗绳下端刚好触地，求旗杆高度？
训练4.6】一架长12米的梯子，根据安全需要，要求在使用时最大倾斜角不能超过，问这架梯子最高能安全到达___米？
训练4.7】在一棵树的20米高a处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树30米的b处，另一只爬到树顶c后直接跃到b处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树高度（精确到0.1米）。
训练4.8】在一边为10米的水池正**有一棵荷花，花高出水面1米，先一阵风吹来，荷花，被吹到池边，花朵齐及水面，已知荷花移动的水平距离为5米，求水池深。
举一反四》题型训练之4——锐角三角函数。
知识点】锐角三角函数的定义：在直角三角形中，，，锐角三角函数的值只与角的度数有关，与三角形中边长无关，它是一个比值。
例4.3】中，，若，，则，，，
解】，，训练4.9】在中，，则。
训练4.10】在中，则。
训练4.11】在中，则。
训练4.12】在中，则。
训练4.13】在直角三角形中，各边都扩大3倍，则锐角的正弦值___
训练4.14】在中，则。
训练4.15】在中，求的值。
举一反四》题型训练之5——锐角三角函数公式。
知识点】在直角三角形中，若，锐角三角函数都为正实数，故是常用到的两个重要公式，一般常用在同一角之间的几种三角函数间的转换；且，，，常用在互为余角的两个角之间的转换。
例4.4】在中，若求。
解】又。训练4.16】在中，，若，求。
训练4.17】在中，，若，求。
训练4.18】。
训练4.19】若。
训练4.20】在中，，已知求的值。
训练4.21】在中，，已知求的值。
训练4.22】若是锐角，且那么。
训练4.23】若则。
举一反四》题型训练之6——特殊角的三角函数值。
知识点】特殊角的三角函数值如下表，要求记熟。
例4.5】(2007·山东济宁·3分)计算的值是：__
解】故原式。
训练4.24】计算。
训练4.25】计算。
训练4.26】计算。
训练4.27】计算。
训练4.28】在锐角三角形中，若求各角的度数。
训练4.29】若则。
训练4.30】若求。
训练4.31】若等边△abc边长为a，求它的面积。
举一反四》题型训练之7——所对直角也等于斜边的一半。
知识点】在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是经常用到的定理。两个条件缺一不可：是直角三角形，有一个锐角为。
例4.6】在rt△中，
解】在直角三角形中，训练4.32】在山坡上修建一座扬水站，现测的山坡与水平面所成的夹角为，要使出水口高度为，则需准备的水管长度为___米。
训练4.33】固定线杆的拉索与地面成时效果最佳，现已知拉索固定点离线杆底部为米，则拉索的长度为___米。
训练4.34】为测量一条河的宽度，一测量员在河岸c处测的得河正对岸有一棵树a，测量员向正东方向走到达b处，已知，求河宽。
训练4.35】如图4.9，在rt△abc中，，ad是bac的平分线，已知ab=，则ad=__
训练4.36】飞机与空中a处探测到地面目标b，俯角c的水平方向与视线的夹角为，已知飞机飞行高度为米，若炮弹的飞行速度我为米/秒，求从发射炮弹到射中目标b所需时间。
举一反四》题型训练之8——解直角三角形（一）
知识点】在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。解直角三角形常有两种类型：已知两边求第三边和锐角；已知一条边和一个锐角求另一个锐角和其它两边。
解直角三角形依据有三条：三边的关系；两锐角的关系；边角的关系。
例4.7】在中，则。
解】 在直角三角形abc中，
训练4.37】在。
训练4.38】在解这个直角三角形。
训练4.39】在用计算器求得约等于___
训练4.40】在解这个直角三角形。
训练4.41】在。
训练4.42】在。
举一反四》题型训练之9——解直角三角形（2）方位角问题。
知识点】方位角问题，一定要掌握好中心点，即目标与观察者之间的相对位置。“上北下南，左西右东”要记牢固。另外，“东北”、“西北”、“东南”、“西南”四个方位角指的是每个象限方向。
例4.8】一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时该船在a处测得某灯塔b位于它的北偏东处，上午9时行至c处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是___海里。（结果保留根号）
解】 由题意可知，海里，
最近距离为海里。
训练4.43】一船上午8时位于灯塔a的北偏东方向，在与灯塔a相距64海里的b港出发，向正西方向航行，到9时30分恰好在灯塔正北的c处，则此船的速度为___
训练4.44】如图4.13，点b在点a北偏西方向，且，点c在点b北偏东方向，且，则b到c的距离为___
训练4.45】规定：“小汽车在城市道路上行驶速度不得超过。
现有一小汽车由西向东行驶，在距路边处有一测速仪o，测得该车从北偏西的a点行驶到北偏西的b点，所用时间为1.5秒，问该车是否超速？
训练4.46】如图4.15。
一船在a处观测到东北方向有一小岛c，已知小岛c周围4.8海里内是水产养殖场。船沿北偏东方向航行10海里到达b处，在b处测得该小岛在北偏东方向，在这里渔船改变航线向正东方向航行，问渔船是否有进入养殖场的危险？
举一反四》题型训练之10——仰角俯角问题。
知识点】测量时，从下向上看，视线与水平的夹角叫仰角，从上向下看，视线与水平的夹角叫俯角，即。
例4.9】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰好为，若两眼离地面1.5米，则旗杆高度为___米（精确到1米）
14米 15米 16米 17米。
答： 训练4.47】甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲楼高___米，乙楼高___米？
训练4.48】在离铁塔150米的处，用测角仪测得铁塔顶仰角为，已知测角仪高1.50米，则塔高为多少米？（用根号表示）
训练4.49】桥头堡高10米，站在堡顶发现附近有一可疑点，测得其俯角为，则可疑点离堡底___米？
训练4.50】为了测得电视塔的高度，在处用高1.5米的测角仪，测得电视塔的顶端的仰角为，再向电视塔方向前进120米后，在处又测得电视塔的顶端的仰角为，求电视塔高。
举一反四》题型训练之11——坡比坡角问题。
知识点】坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比，用字母表示，，也叫坡比，坡度一般写成的形式，坡度与坡角的关系：
例4.10】某人沿坡度的山坡向上走了50米，则他上升的铅直高度是___米。
答：25米。
训练4.51】河堤的坡高是5米，迎水坡的长为13米，则斜坡的坡度为为___
训练4.52】有一挡水坝的横断面是等腰梯形，它的上底宽为6米，下底宽为10米，高为米，则此挡水坝的坡度和坡角分别为。
训练4.53】在坡度的山坡上种树，要求株距（相距两棵树的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的距离是___米。
训练4.54】某人沿着倾斜角为的斜坡上前进了米，则他上升的高度是___米。
训练4.55】某人水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，斜坡米，坝高8米，斜坡的坡度，求斜坡的坡角和坝底宽。
训练4.56】某人沿坡度的山坡行了200米，则此人升高了___米。
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