课程编号：a071001北京理工大学2007-2008学年第一学期。
班级学号姓名成绩
一、 填空（每小题3分，共30分）
1．设。 当时，是的阶无穷小，其中 5 .
2．设函数由方程确定， 则1 .
3．曲线的斜渐近线为。
4．设在点处连续且可导，则2 ， 0 .
5．若存在，，则。
6．若曲线与在点处相切，则-4 ， 2 .
7．已知在处可导，且则0 ,
8．数列极限。
9．已知方程有实根，则应满足的条件是：.
10．设则。
二、（10分）设，求，并求曲线在参数对应点处的曲率。解分。分。
时分。曲率为分。
三、（10分）设，由拉格朗日中值定理， 得：，使得 . 求极限的值。
解：由已知得分。
分。四、（10分） 证明不等式：当时，
证明：设，则………分。
分。所以当时，单增，从而即。
分。五、（10分）设函数在处有极值。
1）试确定系数； （2）求出的所有极值及单调区间；
3）求曲线的凹凸区间和拐点。
解：（1）由已知条件知：
解得分。2），令得驻点。
时，有时，有。
时， 知为极大值点，为极小值点；
极大值为极小值为分。
3），令得，时，，曲线为凸弧；时，，曲线为凹弧。
拐点为（0，0分。
六、（10分）设函数，试求的表达式，并讨论在处的连续性，若是间断点，请指出间断点的类型。
解：当时，
分。当时，
所以分。所以在处连续分。
七、（10分）某轮船航行一昼夜的耗费（单位：元）为 ，其中是正的常数，是船航行的速度（单位：）.利用你学过的微积分知识，求取何值时可使得船航行一公里时的平均耗费最小。
解：船航行一公里时的平均耗费函数为：，…分，令得唯一驻点分。
又时， 时，
所以在处取得极小值，又因为驻点唯一，所以在处取得最小值。
故时可使得船航行一公里时的平均耗费最小。最小值。分。
八、（10分）设在上二阶可导，且求证：
存在使得。证明：做辅助函数分。
由已知条件知，在[0，1]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知：至少存在一点使得分。
易验证在上满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点。
使得即 ，即。
结论成立分。
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