中南大学考试试卷。
2011 ~2012学年一学期微积分a课程
时间：12年1月12日，星期四，10：00—11：40，共计：100分钟）
88学时，5.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %
一、填空题(共15分，每小题3分)
1、， 则。
3、心形线的全长为。
4、已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为。
5、将曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为。
二、选择题(共15分，每小题3分)
1、在处连续，则a
a） 1b） 0c） ed）
2、设函数在定义域内可导，的图形如右图所示， 则导函数的图形为（ ）
3、设连续，且，则为。
ab）cd）
4、设是连续函数，且，则。
a) (b) (c) (d)
5、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，设为在上fourier级数展开式的和函数，则。
a) (b)
c) (d)
三、(10分)已知是趋于1时的高阶无穷小，求常数。
四、(16分，每小题8分)求解下列各题：
1、求．2、设确定， 求。
五．(16分，每小题8分)求解下列各题：
1、在闭区间上给定函数，点在什么位置时，面积和之和分别具有最大值和最小值？ 2、
六、(10分)求过点与垂直且与平面平行的直线方程．
七、(10分) 求幂级数的收敛域及和函数。
八、(8分)设在上可微，且满足，证明：在内至少有一点，使。
参***。一、填空题(共15分，每小题3分)
1、， 则。
2作业6.5第二(2)题)
3、星形线的全长为作业6.6第一(2)题)
4、已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为书习题7第1(3)题)
5、将曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为作业下册1.7第一(2)题)
二、选择题(共15分，每小题3分)
1、在处连续，则a =（d ）.
a） 1b） 0c） ed）
2、设函数在定义域内可导，的图形如右图所示， 则导函数的图形为（ c ）
3、设连续，且，则为。
ab）cd）
4、设是连续函数，且，则。
a) (b) (c) (d)
5、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，设为在上fourier级数展开式的和函数，则。
a) (b)
c) (d)
三、(10分)已知是趋于1时的高阶无穷小，求常数。
解法一： (练习册作业2.7第四题) 由条件得：,.又由洛比塔法则，有。
又由洛比塔法则，有。
解法二：(练习册作业2.7第四题)由条件得：,.又。
, 又。四、(16分，每小题8分)求解下列各题：
1、求．解。 (典型习题解答p2第 2.3第2题), 2、设确定， 求。
解一(练习册作业3.4第五题) 由得。
上式对求导得1）
再对求导得2）
时得，代入（1）式得。
将，代入（2）式得。
解二，由得，且。
由，得，则。
五．(16分，每小题8分)求解下列各题：
1、在闭区间上给定函数，点在什么位置时，面积和之和分别具有最大值和最小值？
解：(典型习题6.6第2题)，令，即，解得。 又，故当时，；当时，.
解：（练习册6.4第三(5)题）
六、(10分)求过点与垂直且与平面平行的直线方程．
解：(下册练习册习题1.5第四题)直线的方向向量为v1= =6i–3j，设所求直线的方向向量为v2=(m, n, p)，由已知条件得。
解之得：m=，n=，于是，所求直线的方向向量可取为(，，1)，进一步可取为(1, 2, 5)，所以，所求直线的方程为： =
七、(10分) 求幂级数的收敛域及和函数。
解、(作业7.2第三(1)题) 解：，所以，，.当时，级数成为，由调和级数知发散；
当时，级数成为，由交错级数的leibniz判别法知此级数是收敛的。 所以收敛区间为。
设，则，所以，.
八、(8分)设在上可微，且满足，证明：在内至少有一点，使。
解：（书p226，习题6.2第6题）由积分中值定理，存在，有。
令，则在上连续，且有，由洛尔定理，存在使，从而。
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