第六讲排队论。
x/y/zx处填写表示相继到达间隔时间的分布；
y处填写表示服务时间的分布；
z处填写并列的服务台的数目c. c=1 单服务台，c>1 多服务台。
表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号：
m—负指数分布。
d—确定型。
ek—k阶爱尔朗分布。
gi— 一般相互独立的时间间隔的分布。
g— 一般服务时间的分布。
x/y/z/a/b/c
a处填写系统容量限制n；n=c损失制，n=∞等待制系统，n>c混合制系统
b处填写顾客源数m（有限、无限）；
c处填写服务规则（fcfs/lcfs/siro/pr）。
约定： 1、平均到达率(λ)单位时间内平均到达的顾客数。 平均到达间隔 (1/λ)
2、平均服务率(μ)单位时间内平均服务的顾客数。平均服务时间(1/μ)
3、队长(ls)：排队系统中顾客的平均数。
4、队列长(lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数。ls=lq+正被服务的顾客数。
5、逗留时间(ws)：指一个顾客在系统中的停留时间。
6、等待时间(wq)：指一个顾客在系统中排队等待的时间。ws=wq+服务时间。
7、系统的状态：描述系统中的顾客数
8、系统的状态概率[pn( t )]指t时刻、系统状态为n的概率。
9、稳定状态（统计平衡状态）：limpn(t)→pn
pn=p稳态系统中有n个顾客概率。
p1稳态系统中有1个顾客概率。
p0稳态所有服务台全部空闲概率。
m/m/1模型。
pn(t)的计算（在时刻t系统中有n个顾客的概率）
pn(t+δt)= pn(t)(1-λδt)(1-μδt) +pn+1(t)(1-λδt)μδt++ pn-1(t)λδt(1- μt) +pn(t)λδtμδt n≥1
整理得：pn(t+δt)= pn(t)(1-λδt-μδt)+pn+1(t)μδt+pn-1(t)λδt+o(δt)
pn(t+δt)-pn(t)]/t =λpn-1(t)+μpn+1(t)-(pn(t)
令δt→0 dpn(t)/dt=λpn-1(t)+μpn+1(t)–(pn(t) (n≥1) (1)
考虑p0(t)的情况：
p0(t+δt)=p0(t)(1-λδt)+p1(t)(1-λδt)μδt+ p0(t)λδtμδt
令δt→0 dp0(t)/dt=-λp0(t)+μp1(t) （2）
令dpn(t)/dt=0，由(1)和(2)得到。
2）队列中等待的平均顾客数（lq）
3）顾客逗留时间的期望值（ws）
李泰勒（little）证明了在很宽的条件下，排队系统数量指标之间有以下的关系式：
ws=ls/λe
4）队列中顾客等待时间（wq）
李泰勒证明了在很宽的条件下，排队系统数量指标之间有以下的关系式。
12年，第二题，15分）某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均每人服务时间为6分钟。请计算：
1）修理店空闲的概率；
2）店内恰有3个顾客的概率；
3）在店内的平均顾客数；
4）每位顾客在店内的平均逗留时间；
5）等待服务的平均顾客数；
6）每位顾客平均等待服务的时间；
7）必须在店内消耗10分钟以上的概率。
解：由已知条件知。
因此。08年，第五题，15分）顾客按泊松分布到达某单人理发店，平均间隔20分钟。理发时间为负指数分布，平均每人15分钟。设该系统符合m/m/1模型，求：
a）顾客不必等待的概率；
b）顾客在店内平均等待时间；
c）若顾客在店内耗时超过1.25小时，则雇人帮忙，问平均到达率达到多少以上需雇人帮忙。
解：由已知条件知。
因此。a）顾客不必等待的概率；
b）顾客在店内平均等待时间小时；
c）若顾客在店内耗时超过1.25小时，即，因此，平均到达率达到以上需雇人帮忙。
m/m/1/n/∞ 模型（混合制系统）
假定系统最大容量为n，单服务台情形排队等待的顾客最多为n-1
n+1个状态。
有效到达率λe=λ(1-pn) 系统不满时顾客以λ的速度进入系统。
e= μ1-p0)
顾客源为有限的情形（m/m/1/∞/m）
机器故障问题：设共有m台机器，机器故障停机表示到达，待修机器形成队列，修理工是服务员。
m/m/c
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