1、 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。其中x（0-）为系统的初始状态。
解：（1） 线性：
设，则。那么，显然，所以是非线性的。
时不变性。
设则。设则，所以是时不变的。
因果性。因为对任意时刻 t1，，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。
线性：设，则。
那么 显然，所以系统是线性的。
时不变性。
设则。设则，所以是时变的。
因果性。因为对任意时刻 t1，，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。
线性：设，则。
那么 显然，所以系统是线性的。
时不变性。
设则。设则，所以系统是时变的。
因果性。因为对任意时刻 t1，，当时，，即输出由未来时刻的输入决定，所以系统是非因果的。
2 利用冲激信号及其各阶导数的性质，计算下列各式：
解：（1）2）因为，所以。
4）冲激串中只有两个：δ（t）和δ（t+1）落在积分区间
-3/2 1/2]之中，因此
3 已知激励为零时刻加入，求下列系统的零输入响应。
解：（1）特征方程为：，特征根为，因此，yx（t）为：
代入初始条件并求解，有：
所以。2）特征方程为：，特征根为：，因此，yx（t）为 ： 代入初始条件并求解，有：
所以。4 已知lti系统的框图如图2-72所示，三个子系统的冲激响应分别为，求总系统的冲激响应h(t)。
解：由图可知，总的冲激响应为。
5 一lti系统，初始状态不详。当激励为f（t）时全响应为，当激励为2f（t）时全响应为。求。
1）初始状态不变，当激励为f（t-1）时其全响应，并指出零输入响应和零状态响应。
2）初始状态是原来的两倍，激励为2f（t）时其全响应。
解：设系统的零输入响应为，f（t）产生的零状态响应为，因为系统是lti系统，由题设可得，解此方程，得。
1） 由时不变性，此时的零状态响应为，而零输入响应不变，故全响应为：，其中 ：
零输入响应为，零状态响应为。
2） 根据线性性质，此时系统的零输入响应和零状态响应均为原来的两倍，故全响应为：，其中：
零状态响应为，零状态响应为。
6 求下列信号的傅里叶变换。
解：（1）因为，所以。
2）因为，所以，
3）因为，所以，
4）因为，所以。
7 利用傅里叶变换的对称性，求下列信号的傅里叶变换。
解：（1），因为，令，，根据对称性，得。
再由时移性质得：
2）因为，根据对称性，有，因此。
8 已知系统的微分方程如下：
a）； b）
1）求系统的频率响应h（jω）和冲激响应h（t）；
2）若激励，求系统的零状态响应。
解：（a）1）由微分方程可知系统的频率响应为。
因此冲激响应为。
2）设，则，由频域分析。
可令，其中
即，因此零状态响应为。
b）1）由微分方程可知系统的频率响应为。
因此冲激响应为。
2）设，则，由频域分析。
可令，其中
即，因此零状态响应为。
求下列信号的拉氏变换，并注明收敛域。
解：（1）
10求下列函数的拉氏逆变换f(t)。
解：（1）首先，然后令，其中。
因此，于是
2） 因为，由时移特性即得。
3）令，其中。
因此，从而。
4）令，其中。
因此，通分后得，比较分子的各项系数，得。
故，从而。5）令，其中
所以，从而。
11 已知某lti系统的阶跃响应，若系统的输入，求该系统的零状态响应。
解：设，则，易知，因此系统函数。
又设，因为，所以，故。
因此。12 系统框图如图4-40所示，试求：
1）系统的传输函数h（s）和单位冲激响应；
2）描述系统输入输出关系的微分方程；
3）当输入时，系统的零状态响应；
4）判断系统是否稳定。
解：（1）如图设最后一个积分器的输出为，写两个加法器的输出方程，得。
在零状态条件下取俩式的拉氏变换，得。
因此。做部分分式展开，得，因此。
2）由系统函数可知微分方程如下。
所以。3） 系统函数的两个极点均在复平面的左半平面，因此系统是稳定的（此处将系统视作因果的）。
13 已知lti系统的差分方程为；
1）求系统的单位样值响应；
2）求系统对于下列输入的响应。
解：（1）特征方程为，特征根为，所以。因为，所以，故；
2）（a）（b）
14 已知lti系统单位阶跃响应，求系统在激励时的零状态响应。
解：因为，所以零状态响应。
记，则，下面求。
所以。15 离散时间lti系统的框图如图6-7所示，求。
1）系统函数；
2）系统单位样值响应；
3）系统的单位阶跃响应。
解：（1）由图可知，两边取z变换，有。
因此系统函数为。
2）根据系统函数可得系统的单位样值响应为。
3）设，则因此，系统的阶跃响应为。
燕庆明 信号与系统作业题答案
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