弹簧滑块振动系统与电路系统的相似性。
班级：工科一班。
姓名：亢宏宇。
学号：3015202011
1、**背景。
不同类型的系统有着各自不同的特点，有着特点的用途，但最简单、最基础的是线性时不变系统，即lti系统。因为这类系统在实际应用中最多，同时，分析lti系统的方法又是分析非线性系统、时变系统的重要基础。因此研究lti系统的输入输出尤为重要。
2、数学建模。
一质量为m的物体所受外力为f（t），作为系统的输入信号。用y（t）表示物体自起始位置的位移，作为系统的输出信号。假设物体所受粘性摩擦力为bdy(t)/dt,b为粘性摩擦系数。
根据胡克定律，弹簧所受的弹性力为ky（t），其中k为弹性系数。
显然物体所受合力为f(t)-b-ky(t)，物体运动的加速度a为物体运动速度的一阶导，即物体位移的二阶导。根据牛顿第二定律可得该物体的运动方程：
m=f(t)-b-ky(t)
整理可得。m+b+ky(t)=f(t)
f(t)可看为系统的输入。设系统的输出为y(t)，它可以是各种实际系统的输出。再设输出y(t)各阶导数加权系数为 (i=0,1,2...
n),输入f(t)各阶加权系数为 (j=0,1,2...n)。这样，一个n阶lti连续系统的数学模型一般形式可概括为。
我们学习的二阶电路系统的输入输出方程即可写为。
+y(t)=f(t)
线性时不变系统是一种比较简单理想的系统形式，它常被看做是实际系统的简化形式，其特性可用微分方程表示：
当输入u=0时，系统的输出由初始状态决定，即为零输入响应，在零输入条件下，系统的响应取决于微分方程左端特征方程的根，与右端无关，其通解为。
其中，是特征方程1=0的根。每个分量的系数应由y及其各阶导数的初始条件来确定。
初始条件应该和待定系数的数目相等，构成一个确定的线性代数方程组，写成，其解为，其中c=y0=
3、求解方法。
1、直接求解法。
涉及到的matlab函数有：impulse(冲击响应)、step(阶跃）、roots(零状态下响应)lsim（零状态响应）等。在matlab中，要以系统向量的形式输入系统的微分方程，因此在使用前对系统的微分方程进行变换，得到其传递函数。
其分别用向量a,b表示分母多项式和分子多项式的系数（按照s的降幂排列）。
2、卷积计算法。
跟据系统的单位冲激响应，利用卷积计算的方法，也可以计算任意输入状态下系统的零状态响应，设一个线性零状态系统，已知系统的单位冲激响应为h(t),当系统的激励信号为f(t)时，系统的零状态响应为：
4、用matlab进行lti系统**。
matlab程序：
a=input(‘输入分母系数a=[a1,a2,..
n=length(a)-1;
y0=input(‘输入初始条件向量yo=[y0,dy0...
p=roots(a)
v=rot90(vander(p));
c=v\y0’;
dt=input(‘dt=’)
te=input(‘te=’)
t=0:dt:te;
y=zeros(1,length(t));
for k=1:n
y=y+c(k)*exp(p(k)*t);
endplot(t,y);
grid on;
xlabel(‘t’)
ylabel(‘y’);
title(‘零输入响应’）；
五、反思与总结。
通过对二阶电路分析的探索，让我知道了实际生活和课本知识是紧密联系的，我们可以构建数学模型来找到电路与数学模型之间相似的地方。此外我还掌握了用matlab进行一些电路的分析和电路**。
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