一、 单项选择题（每小题4分，共24分）
1．设初等函数在区间有定义，则在上一定c）a．可导b．可微。
c．可积d．不连续。
解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。
2．若连续，下列各式正确的是 （d）
a． b．
c． d．
解： 选d3．下列关系式中正确的是 （b）a． b．
c． d．以上都不对。
解：（1）在区间内：
2）由比较定理： 选b
4．下列各式中，正确的是b）
a． b．
c． d．以上都不对。
解：（1）令，2）由估值定理：
5．下列函数在区间上可用牛顿——莱布尼兹公式的是a）a． b． c． d．
解： ，选a
6．设在上，
记，，，则有 （b）
a． b．
c． d． 解：选b
二、填空题（每小题4分，共24分）
解：原式=8．设连续，且，则
解： 9．设连续，则 解：
10．设则。
解：令，，
11．设连续，且则
解：，令，故
12．设，则y的极小值为
解：（1）驻点，2）为极小值点，３）极小值。
三、 计算题（每小题8分，共64分）
13．方程，确定，求。
解：（1）2）当时，，
3），故有。
14．设在连续，且满足，求。
解：（1）在连续，令。
故有。15．讨论方程在区间内实根的个数。
解：（1）令。
故至多有一实根。
2）在连续，且。
由零点定理，至少有一实根。
3）综上所述：在有且仅有一个实根。
16．设在连续，且在单调减少，讨论在区间的单调性。
解：，由积分中值定理
在，，故在。
单调减少。17．求。解：原式=
18．设其中为连续函数，求。
解： 19．设，且可导，，求。
解：（1）且。
由得，故有。
20．若为连续的奇函数，判别的奇偶性。
解：令。故为偶函数。
同理：若为连续偶函数，则为奇函数。
四、综合题（每小题10分，共20分）
21．设。讨论在处的连续性和可导性。
解：（1）且。
故在处连续。
故在处可导。
22．利用拉格郎日中值定理的推论，计算。
之值，其中。
解：（1）令。
由拉格郎日中值定理的推论知：
2）确定常数 c，
故有。五、证明题（每小题9分，共18分）
23．证明。
证：（1）令。
2）。令。驻点。
4）比较上述函数值大小：
由估值定理知：
证毕。24．若在连续，且，又，证明在有且只有一实根。
证：（1）在单调增，故在至多有一实根。
2）在连续，且。
由零点定理知：在至少有一实根。
3）综上所述：在有且只有一实根证毕。
选作题：若为连续偶函数，判别的奇偶性，（a为常数）解：（1）当时，
为奇函数。2）时，偶函数+奇函数=非奇非偶函数。
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．设是的一个原函数，则。
a ）a． b．
c． d．
解：（1）2）原式=
选a2．已知，，，则。
b ）a．1 b．2 c．3 d．4
解：原式= 选b
3．下列积分为零的是 （ d ）
ab． c． d．
解：为奇函数，为偶函数。
为奇函数，故。
选d4．下列广义积分收敛的是 （ a ）
a． b．
c． d．
解：收敛（或。
选a5． （c ）
a．0 b．1 c．2 d．
解：原式=选c
6．设为线性函数，且。
则 （ c ）
a． b．
c． d． 解：（1）
故。选c
二、填空题（每小题4分，共24分）
解：原式=
解：原式=
解：原式=10．，则。解：原式=
解：原式=12．设为连续函数，则。
解： 原式=0
三、计算题（每小题8分，共64分）
解：原式=
解：原式=15．设，求。
解： 16．设求。解：
解：原式=解：原式=
解：令，即。
当， 原式=
20．已知，求。
解：原式。四、综合题（每小题10分，共20分）21．设在区间连续，证明。
并由此计算。
解：（1）又。
2）计算：令。
22．设连续，证明。
并由此计算。
解：（1）2）计算。
五、证明题（每小题9分，共18分）
23．设，证明。
证：令。移项。
证毕。24．设在连续，证明。
证：左式。右式。
注：本题可用二重积分的交换积分次序证明。
选作题：计算题。
解：令，当，当。
原式= 一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．设在连续，则曲线与直线，所围平面图形的面积为。
c ）a． b．
c． d． 解：选c
2．曲线及抛物线所围平面图形的面积a ）
a． b．6 c． d． 解：选a
3．若曲线与所围平面图形的面积为，则b ）a．0 b．1 c．-2 d．2
解：1）交点。
选b4．在上，曲线与直线所围图形面积a ）a． b． c． d． 解：选a
5．曲线，与所围平面图形。绕x轴旋转的旋转体的体积（ c ）a． b． c． d． 解：选c
6．由曲线轴所围平面图形绕y轴旋转的旋转体的体积 （ d ）a． b． c． d． 解：选d
二、填空题（每小题4分。共24分）
7．椭圆的面积。
解：8．曲线与所围平面图形的面积。
解：9．曲线与直线及所围平面图形的面积。
解：10．曲线及所围图形的面积。
解：11．曲线及所围平面图形绕x轴旋转的体积。
解： 12．曲线及所围平面图形绕y轴旋转的旋转体体积解：注：（柱壳法）
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求由曲线与，所围平面图形面积。
解：（1）画出平面图形。
2）为了不分块，选x为积分变量。
面积。14．求由及所围平面图形的面积。
解：（1）画出平面图形。
3）为了不分块，选y为积分变量。
面积。15．求由曲线及其它在点的法线与x轴所围平面图形的面积。
解：（1）求法线方程：
法线方程：
即。2）画出平面图形。
注： 16．利用极坐标计算曲线与所围平面图形的面积。
解：（1）画出平面图形。
17．求由曲线所围平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积。
解：（1）画出平面图形。
18．求由曲线所围平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积。
解：（1）画出平面图形。
19．求由曲线与及x轴所围平面图形绕y轴旋转的体积。
解：1）画出平面图形。
注： 20．求圆绕y轴旋转所形成的旋转体的体积。
解：（1）画出平面图形。
四、证明题（本题8分）
21．设为非负连续函数，证明在内存在唯一点，使直线将。
所围曲面梯形的面积二等分。
解：（1）画出示意图。
单调增加，故在至多有一实根。
4）在连续，且。
由零点定理知：在至少有一点使。
5）综上所述：在有且只有一点使证毕。
五、综合题（每小题10分，共30分）
22．求曲线与曲线在点处的法线所围图形的面积。
解：（1）求法线方程：
法线方程：即。
2）画出平面图形。
或。3）选择y为积分变量。
23．求由曲线所围平面图形分别绕x轴．y轴旋转的体积及。
解：（1）画出平面图形。交点或。
24．设曲线，问t为何值时，图中的阴影部分面积与之和最小。
解：（1）选择y为积分变量。
3）求极值。令，驻点。
为极小值点，由单峰原理，也是最小值点。
答：当时最小。
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．已知且，则kb ）
a．1 b． c．２ d．
解：（１故。
选b．设，，且与互相垂直，则 （ c ）
a． b． c． d．
解：（１２） 选c
．垂直且同时垂直于y 轴的单位向量d ）
a． b．
c． d． 解： 又。
选d．设且，则必有 （ d ）
a． b．
c． d．
解：要使且成立，即至少有一个为零向量，故选d．已知，，，则c ）
a． b． c． d． 解：（１
选c．已知则。
b ）a． b． c． d．
解：（１故有。
选b二、填空题（每小题４分，共24分）
．若是向量的方向角，则。
解： ．设，，则在上的投影＝
解： ．设与互相垂直，则m＝
解：， 故。
10．设，互相平行，则y
解：故有。11．已知，则 解： 故。
12．设则。解： 故。
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．已知向量的起点为求向量的终点b的坐标。
解：设b的坐标为。
故有。答： b点坐标b（3，2，9）
14．求的模，反向余弦及与同方向的单位向量。解：（1）3）与同向的单位向量。
15．已知，求。解：（1）
16．设求。
解： 注意到=0， =0， =原式=
17．求与共线，且与的数量积为３的向量。
解：（1）设。
2）与共线。
故②代入①得。
代入②得即。
18．设求。解：（1）
19．设求以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度。解：（1）20．已知求及。
解：（1）故有=6
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