暨南大学考试试卷（答案）
1. 设命题 p：空集是一切集合的真子集，q：日本首都是京都，r：暨大校训是忠信笃敬，则复合命题：的真值为___真___
2. 设b为含命题变项p， q， r的矛盾式，则公式的类型为___重言式___
3. 设命题公式，，则g与h的逻辑关系是___等值___
4. 设f(x)：x为实数，g(x,y)：x >=y，命题“不存在最小的实数”的符号化形式为或者；
5. 设解释i如下，个体域d=, f(a,a）=f(b,b)=0,f(a,b)=f(b,a）=1，在解释i下，公式的真值为___真。
6. 设，则用列举法表示a =_r和s是a上的两个关系，它们的关系矩阵为：
1) 写出关系r和s 的集合表达式，(2) 画出r和s的关系图，(3) 说明r和s满足关系的哪些特性。（每小题2分）
解。1) r =
s = 2) r和s的关系图：
3) r满足自反性；s满足反对称性、传递性。
4. 设a=，在aa上定义二元关系r：,>r x+y = u+v，求r导出的划分。 解 aa=
根据有序对中的x+y=2,3,4,5,6,7,8将a划分成等价类：
a/r=,
1. 证明下列等价式成立：
14分）2) ab (a∧b)∨(a∧┐b4分）解答：
证法1：证法2：ab (a→b)∧(b→a
a∨b)∧(b∨a
a∧┐b)∨(a∧a)∨(b∧┐b)∨(b∧a)
a∧b)∨(a∧┐b)
证法3：先证ab(a∧b)∨(a∧┐b) (a)
设为任一指派，使(ab)=1，那么(a)= b)=1或(a)= b)=0，从而(a∧b)=1或(┐a∧┐b)=1，即((a∧b)∨(a∧┐b))=1。(a)得证；
再证(a∧b)∨(a∧┐b)ab (b)
设为任一指派，使(ab)=0，那么(a)=1，(b)=0，或者(a)=0，(b)=1，从而(a∧b)=0且(┐a∧┐b)=0，即((a∧b)∨(a∧┐b))=0。(b)得证。
2.在自然推理系统中证明下面推理。
前提：xp(x)→x((p(x)∨q(x))→r(x))，xp(x)，xq(x)
结论：xy(r(x)∧r(y
证明：1) (x)p(x)→(x)((p(x)∨q(x))→r(xp
2) (x)p(xp
3) (x)((p(x)∨q(x))→r(xt(1)(2)i
4) p(ces(2
5) (p(c)∨q(c))→r(cus(3
6) p(c)∨q(ct(4)i
7) r(ct(5)(6)i
8) (x)q(xp
9) q(des(8
10) (p(d)∨q(d))→r(dus(3
11) q(d)∨p(dt(9)i
12) r(dt(10)(11)i
13) r(c)∧r(dt(7)(12)i
14) (y)(r(c)∧r(yeg(13
15) (x)(y)(r(x)∧r(yeg(14
3．根据推理理论证明：每个学生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有学生都将有所作为，所以，一定有些学生是聪明的。
证明：设p(e)：e是学生，q(e)：e将有所作为，a(e)：e是勤奋的，b(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为：
前提：x(p(x)(a(x)∨b(x)))x(a(x)q(x))，x(p(x)q(x))
结论：x(p(x)∧b(x))。
1)x(p(x)q(xp
2)x(p(x)∨q(xt(1)，e
3)x(p(x)∧q(xt(2)，e
4)p(a)∧q(at(3)，es
5)p(at(4)，i
6)q(at(4)，i
7)x(p(x)(a(x)∨b(xp
8)p(a)(a(a)∨b(at(7)，us
9)a(a)∨b(at(8)(5)，i
10)x(a(x)q(xp
11)a(a)q(at(10)，us
12)a(at(11)(6)，i
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