课时作业22 点到直线的距离。
时间：45分钟满分：100分。
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．已知点a(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(
ab．2－c.－1d.＋1
答案]c解析]由点到直线距离公式得：＝1，|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.
2．已知两点a(3,2)和b(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m为( )
a．0或b.或－6
c．－或d．0或。
答案]b解析]由题知直线mx＋y＋3＝0与ab平行或过ab的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，∴m＝或m＝－6.
3．在直线3x－4y－27＝0上到点p(2,1)距离最近的点的坐标是( )
a．(5，－3b．(9,0)
c．(－3,5d．(－5,3)
答案]a解析]当pq与已知直线垂直，垂足为q时，点q(5，－3)即所求．
4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )
a．x＋2y－5＝0b．2x＋y－4＝0
c．x＋3y－7＝0d．3x＋y－5＝0
答案]a解析]所求直线与两点a(1,2)，o(0,0)连线垂直时与原点距离最大．
5．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )
a．2x－y＋7＝0和x－3y－4＝0
b．x－2y＋7＝0和3x－y－4＝0
c．x－2y＋7＝0和x－3y－4＝0
d．2x－y＋7＝0和3x－y－4＝0
答案]b解析]解法一：l1关于p(2,3)的对称直线l3，l2关于p(2,3)的对称直线l4，就是另两边所在直线．
解法二：因为另两边分别与l1、l3平行且到p(2,3)距离分别相等，设l3：x－2y＋c1＝0，l4：3x－y＋c2＝0，由点到直线距离公式得出．
解法三：l1的对边与l1平行应为x－2y＋c＝0形式排除a、d；l2对边也与l2平行，应为3x－y＋c1＝0形式排除c，∴选b.
6．点p在直线x＋y－4＝0上，o为坐标原点，则|op|的最小值是( )
ab．2cd．2
答案]b解析]原点到直线x＋y－4＝0的距离就是|op|的最小值，由点到直线的距离公式得|op|的最小值为＝2.
7．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
a．4b.
cd. 答案]d
解析]∵两直线互相平行，∴3m－2×6＝0，∴m＝4.
6x＋4y＋1＝0即为3x＋2y＋＝0，据两平行线间的距离公式得d＝＝，故选d.
8．到直线2x＋y＋1＝0的距离为的点的集合是( )
a．直线2x＋y－2＝0
b．直线2x＋y＝0
c．直线2x＋y＝0或直线2x＋y－2＝0
d．直线2x＋y＝0或直线2x＋y＋2＝0
答案]d解析]设点p(x，y)到直线2x＋y＋1＝0的距离为，则＝，即2x＋y＋1＝±1，2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0为所求．
9．点p(x，y)到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点p的坐标应满足的条件是( )
a．32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0
b．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0
c．7x＋4y＝0
d．x－4y＋4＝0
答案]a解析]由题意可得＝
32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0.
10．将直线l沿x轴正方向平移m个单位(m>0)，再沿y轴负方向平移m＋2个单位，l又回到原来位置，则直线l的斜率为( )
ab. cd.
答案]c解析]设p(x0，y0)是l上任一点，经平移后对应点p′(x0＋m，y0－m－2)，仍在直线l上，kl＝kpp′＝＝
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11．设点p在直线x＋3y＝0上，且p到原点的距离与p到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点p坐标是___
答案]或。设p(－3y，y)，则＝，y＝±
当y＝时，x＝－，p，当y＝－时，x＝，∴p.
12．已知定点a(0,1)，点b在直线x＋y＝0上运动，当线段ab最短时，点b的坐标是。
答案] 解析]ab最短ab⊥直线x＋y＝0.这两条垂直直线的交点就是点b，故先求出直线ab的方程y－1＝x－0.
即：x－y＋1＝0，联立。
解得。故点b的坐标。
13．垂直于直线x－y＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是。
答案] x＋y±10＝0
解析]与直线x－y＋1＝0垂直的直线方程可设为x＋y＋m＝0，原点到它的距离为＝5
解得m＝±10，故所求直线方程为x＋y±10＝0.
14．两条平行线分别经过点(1,0)和(0,5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是。
答案]l1：y＝5，l2：y＝0或l1：5x－12y＋60＝0，l2：5x－12y－5＝0
设l1：y＝kx＋5，l2：x＝my＋1，在l1上取点a(0,5)．
由题意a到l2距离为5，＝5，解得m＝，∴l2：5x－12y－5＝0.
在l2上取点b(1,0)．则b到l1的距离为5，＝5，k＝0或k＝，l1：y＝5或5x－12y＋60＝0，结合l2斜率不存在的情况有结论：
1)l1：y＝5，l2：y＝0；
2)l1：5x－12y＋60＝0，l2：5x－12y－5＝0.
三、解答题(本大题共4小题，共44分)
15．(本小题满分10分)求经过点m(3，－2)且与原点距离为3的直线l的方程．
答案]若直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为。
y＋2＝k(x－3)，即kx－y－(3k＋2)＝0，由点到直线的距离公式，得＝3，解得k＝，故直线l的方程为x－y－＝0
即5x－12y－39＝0
当直线的斜率不存在时，x＝3也符合题意，所求直线方程为5x－12y－39＝0或x－3＝0.
16．(本小题满分10分)已知a(4，－3)，b(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点p，使|pa|＝|pb|，且点p到直线l的距离等于2.
点评] 解析几何的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置．对于求点的问题，首先需设出点的坐标，根据题目中的条件，用点的坐标表示出来，列出方程组进行求解，即可得出所需结论．对于所求点到两定点的距离相等的问题，根据直线的性质可知，点一定在连结两点的线段的垂直平分线上，然后再根据题目给出的条件即可求出点的坐标，这就是说，正确理解题意，弄清点的特征性质，可以帮助我们正确解答问题，因此在平时学习中应注意多观察、多发现、多思考，真正达到触类旁通的效果．
解析]方法一：→→
方法二：→→
解法一：设点p的坐标为(a，b)，由|pa|＝|pb|得。
4－a)2＋(－3－b)2＝(2－a)2＋(－1－b)2
化简得a－b＝5①
由点p到直线l的距离等于2
得＝2②由①②方程联立解得或。
所以所求的点为p(1，－4)或p(，－
方法二：设点p的坐标为p(a，b)，因为a(4，－3)，b(2，－1)，所以线段ab中点m的坐标为(3，－2)．而直线ab的斜率kab＝＝－1，所以线段ab的垂直平分线方程为y－(－2)＝x－3，即x－y－5＝0.
而点p(a，b)在直线x－y－5＝0上，故a－b－5＝0①
由已知点p到l的距离为2，得＝2②
由①②方程联立，解得或。
所以，所求的点为p(1，－4)或p(，－
17．(本小题满分12分)求当m取何值时，直线l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0与l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝0的交点到直线l3：
4x－3y－12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？
答案]设l1与l2的交点为m，则由。
得。m(3m，)
设m到l3的距离为d，则。
d＝＝(m＋)2＋
当m＝－时，dmin＝.
18．(本小题满分12分)
1)求直线2x＋11y＋16＝0关于点p(0,1)对称的直线方程．
2)求直线2x－y＋1＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程．
3)两平行直线3x＋4y－1＝0与6x＋8y＋3＝0关于直线l对称，求l的方程．
答案](1)解法一：所求直线与直线2x＋11y＋16＝0平行，它们到p点距离相等，设所求直线方程2x＋11y＋c＝0，由点p到两直线距离相等解出c＝－38，所求直线2x＋11y－38＝0.
解法二：设m(x，y)是所求直线上任一点，它关于点p(0,1)的对称点(－x,2－y) 在直线2x＋11y＋16＝0上，∴2(－x)＋11(2－y)＋16＝0即2x＋11y－38＝0.
2)设所求直线上任一点m(x，y)，它关于直线x－y＋2＝0的对称点m′(x1，y1)，则解出。
代入m′所在直线方程2x－y＋1＝0中得：2(y－2)－(x＋2)＋1＝0，即x－2y＋5＝0.
3)所求直线l与两直线平行且距离相等，设l：6x＋8y＋c＝0，则＝，∴c＝，即l：6x＋8y＋＝0.
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