**数值分析在机械设计领域的应用。
摘要：以一齿轮传动轴为例，经过初步设计后用数值分析的方法进行强度计算，确定轴的应力应变的大小及分布，并计算出最大应力；进行计算模态分析，确定轴的前四阶固有频率和振型，计算其临界转速。通过分析可知，轴的强度和刚度符合设计要求，工作转速远远低于临界转速，不会引起共振，设计是安全的。
实际应用表明，数值分析方法可以弥补理论计算和实验方法的不足，提高设计效率，在机械结构设计中有一定应用价值。
关键词：机械结构；数值分析；强度计算；模态分析。
1 引言。数值分析是一门研究如何在计算机上求解数学问题算法的学科，主要内容有：误差分析，插值法，数值微积分，数值代数， 矩阵计算和微分方程数值解法等， 是工科各专业大学本科及研究生中开设的一门计算量大，算法多，实践性比较强的专业课。
机械结构设计都要先进行力学计算，看其强度和刚度是否足够。如果没有足够的强度和刚度是不允许的。但有时用传统的力学方法计算很困难。
若轴的横截面是不断变化的，要精确地计算出轴当中的应力和变形，特别是键槽处的应力是不可能的。如果用实验的方法——电测法来测量轴当中的应力和应变，从理论上来说是可以的，但是实际操作比较困难。因为轴上的约束比较复杂，而且用电测应力分析的方法只能测出轴上一部分点的应力和应变，具有一定的局限性。
另外，对轴这类容易产生振动的旋转零件来说，设计时其临界转速的计算尤其重要。轴在引起共振时的转速称为临界转速。当轴的转速停留在临界转速附近时，轴的变形将迅速增大，严重时会破坏轴及整个机器。
因此，对于高速旋转的。
轴，必须计算临界转速，使工作转速避开其临界转速。一般是通过试验或计算的方法确定轴的固有频率、主振型等模态参数，从而计算出轴的临界转速。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析。
2 数值分析方法的研究。
2.1数值分析方法意义。
数学是一种工具，用于解决日常生活、工业工程上的相关问题。针对于数值分析中的数学方法，我们小组将主要内容概括分解，将使用到的方法进行对比分析。
2.2数值分析主要部分。
1. 各类插值方法我们讲过拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、样条插值。
2. 函数逼近及拟合。
3. 数值积分、欧拉法解常微分方程、龙格-库塔法解常微分方程、方程组。
1）插值。对于牛顿插值相对于拉氏插值增加一个节点，所有的插值基本多项式要重新取、重新算。2而牛顿插值，节点增加，次数增加，即高次插值函数计算量大，有剧烈**，数值稳定性较差（例如龙格现象）；分段插值在分段点上仅连续（即函数值相等），但是有尖点，不光滑（尖点导数不连续）；样条函数可以解决以上问题：
使插值函数既是低次阶分段函数，又是光滑的函数。
2）理解逼近问题与拟合问题：
1）逼近问题：函数f(x)在区间[a,b]具有一阶光滑度，求多项式p(x)是f(x)-p(x)在某衡量标准下最小的问题。
2）拟合问题：从理论上讲y=f(x)是客观存在的，但在实际中，仅仅从一些离散的数据(i=1,2…)是不可能求出f(x)的准确表达式，只能求出其近似表达式φ（x）。
3） romberg（龙贝格）求积法和gauss求积法的基本思想：(主要研究方法)
1）复化求积公式精度较高，但需要事先确定步长，欠灵活性，在计算过程中将步长逐次减半得到一个新的序列，用此新序列逼近i的算法为romberg求积法。
2）对插值型求积公式，若能选取适当的使其具有2n+1阶代数精度，则称此类求积公式为gauss型。
4)runge-kutta方法的基本思想：
借助于taylor级数法的思想，将yn+1=yn+hy’(ξ中的y’(ξ平均斜率）表示为f在若干点处值的线性组合，通过选择适当的系数使公式达到一定的阶。
3 轴的参数。
图 1 齿轮传动轴三维实体图。
以图 1 所示的齿轮传动轴为例，先利用cad软件进行三维实体建模，建立分析模型后，设定好载荷和约束条件，对轴结构模型进行分析和计算，得到轴的应力及分布；进行计算模态分析，确定轴的固有频率、主振型等参数，计算出轴的临界转速。结果表明，数值分析的方法可以弥补理论计算和实验方法的不足，减少计算工作量，提高机械结构设计效率。
3.1 轴的设计参数及结构尺寸。
轴输出功率5kw，转速，设计安全系数，经过初步设计后确定轴的结构尺寸如表1所示。
表1 轴的结构尺寸
3.2 材料参数。
材料为45钢调质处理，屈服强度为355 mpa，许用应，弹性模量e为210gpa，泊松比0.3，密度。
4 强度分析。
4.1 外力计算并近似地计算出应力的值。
设作用在轴右边键（大键）上的力为切向力。
径向力，则。
大齿轮处的水平弯矩为。
大齿轮处的铅垂弯矩为。
合成弯矩为。
大齿轮处的扭矩为。
大齿轮处的抗弯截面系数为。
那么，大齿轮处截面上的最大应力值（不考虑应力集中的影响）为。
但是，轴当中的应力最大值会大大超过这一值，因为在轴肩和键槽处存在很大程度的应力集中现象。
4.2 键槽面上分布力的计算。
数值分析时需要计算出作用在键槽面上的分布力的值。
作用在轴右边键槽上的水平（切向）分布力为。
同理，作用在轴右边键槽上的铅垂（径向）分布力为。
轴传递的力偶矩为。
作用在轴左边键槽上的水平（切向）力为。
则作用在轴左边键槽上的水平（切向）分布力为。
4.3 建立分析模型，确定边界条件。
用四面体单元对轴三维实体进行网格划分，共划分765 个节点3062 个单元。有限元模型如图2 所示。根据设计要求，对输出轴的轴承处施加零位移约束。
作用在轴右边键槽上的水平（切向）分布力为17.9 mpa，径向分布力2.03 mpa，作用在轴左边键槽上的水平（切向）分布力为44.
75mpa。
图2 齿轮传动轴有限元模型。
4.4 计算结果及分析。
图3 轴的应力云图。
轴应力云图如图3 所示，可以看出在轴肩和键槽处存在应力集中，最大应力56.9 mpa，远大于理论计算的20.1 mpa。
轴承安装的轴颈过渡圆角处存在着较高的应力水平，是最容易破坏及最危险的部位。
图4 轴的变形云图。
图 4 为轴的变形云图。可以看出轴最大变形量仅为4.7e-2 mm，其刚度也是满足设计要求。
总体来说，轴在强度和刚度方面都存在很大的机械设计制造 《机电技术》2008 年第4 期47余量，材料的承载能力并没有得到充分的利用，这为轴的优化提供了很大的空间。
5 模态分析。
5.1 模态分析的理论基础。
多自由度的运动微分方程为。
式中：m、k、c 分别为总体质量、刚度、阻尼矩阵；为节点加速度向量；为节点速。
度向量；x(t)为节点位移向量；f(t)为整体载荷向量。固有频率也称自然频率，只与系统本身的特性(质量、刚度和阻尼)有关，模态分析即是求解振动系统的固有频率和振型。当弹性体的动力基本方程中的外力向量f(t)=0 时，便可得系统的微分方程：
求解主轴的固有频率和振型，即是求解式(2)的广义特征值和特征向量。
5.2 模态分析模型。
分析模型与强度分析模型相同，但由于固有频率只与系统本身的特性(质量、刚度和阻尼)有。
关，所以不施加载荷。
5.3 计算结果及分析。
模态分析结束后提取了前四阶模态频率和振型，如图5 和表2 所示。
一阶模态固有频率104.79hz，振型如图5（a）所示，二阶模态固有频率106.78hz，振型如图5（b）所示，三阶模态固有频率316.
69hz，振型如图5（c）所示，四阶模态固有频率368.33hz，振型如图5（d）所示，可以看出，一、二阶固有频率几乎相等，可看作是式2 的一对重根。结果表明，通过计算模态分析可以得到轴的各阶模态的固有频率和振型，并具有很好的空间**效果。
为了保证设计的安全性，轴的工作转速不能等于或超过其临界转速，从表2 可知，一阶临界转速n=60f =60×104.79=6287.4r/min，而其工作转速280r/min，大大低于一阶临界转速，所以设计是安全的，能有效避开共振区，保证了轴的加工精度和安全，但有很大的优化空间。
表2 轴的各阶模态固有频率和临界转速。
a)第一阶模态变形云图。
b) 第二阶模态变形云图。
c)第三阶模态变形云图。
d）第四阶模态变形云图。
图 5 前四阶模态变形云图。
6 小结。1. 利用数值分析的方法进行了强度计算，准确地了解了轴零件的应力应变的大小和位置，特别是最大应力及应力集中的位置，为结构设计提供参考。
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