浦江中学暑期数学练习卷（理）一。
一、选择题(每题5分，满分50分)
1．集合，集合，则=（
abc. d.
2. 设为平面，为直线，则的一个充分条件为 （
ab. cd.
3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是。
a． b． c． d．
4.根据右边程序框图，若输出的值是4，则输入的实数的
值为。ab) (c) 或 (d)或。
5.已知抛物线的焦点为f,准线与x轴的交点为m,n为抛物线上的一点，且，则=(
abcd.
6.设，若函数有大于零的极值点，则( )
a．＞-3 b．＜-3 c．＞ d．
7.等差数列的前n项和为，若，点a（3，）与b（5，）都在斜率为－2的直线上，则直线在第一象限内所有整点（横、纵坐标都是整数的点）的纵坐标的和为 （
a．16b．35c．36d．32
8.已知如图，的外接圆的圆心为，
则等于（ ）
a． b． c． d．
9.如图所示，北京城市的周边供外国人旅游的景点有8个，为了。
防止奥运期间景点过于拥挤，规定每个外国人一次只能游玩4个景。
点，而且一次游玩景点中至多有两个相邻（如：选择a、b、e、f四。
个景点也是允许的)，那么外国人现在要分两次把8个景点游。
玩好，不同的选择方法共有（ ）种。
a．60b．42c．30d．14
10．定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意实数都有，且，，则的值为。
a．-2b．-1c．0d．1
二、填空题（每题4分，满分28分）
11.定义：.若复数满足，则等于。
12.若，则___
(用数字作答)
13.已知函数的。
值范围为。14.在△abc中，已知是边上一点，若，则的值为。
15.已知圆的方程为是圆上的一个动点，若的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数的取值范围是。
16.已知满足且目标函数的最大值为7，最小值为１，则。
17.在棱长为的正方体中，分别为棱和的中点，则线段被正方体的内切球球面截在球内的线段长为。
三、解答题(共72分)
18.在△中，角所对边分别为，且．
ⅰ）求角a；
ⅱ）若， ，试求||的最小值．
19．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
20.如图，在三棱柱中，侧面，已知。
ⅰ）求证：；
ⅱ）试在棱（不包含端点上确定一点的位置，使得(要求说明理由).
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，若，求二面角的平面角的正切值。
21.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，,分别是椭圆的左、右焦点，离心率＝,过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点。
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ)是否存在直线，使得以线段为直径的圆过原点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
ⅲ)若ab是椭圆c经过原点o的弦，mn∥ab，求证：为定值。
22.已知函数。
ⅰ）若函数存在单调递减区间，求的取值范围；
ⅱ）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
ⅲ）设各项为正的数列满足：求证：
浦江中学暑期数学练习卷（理）一。
一。 选择题 : 本大题共10小题， 每小题5分， 共50分）
二．填空题： 本大题有 7小题， 每小题4分， 共28分。 把答案填在答题卷的相应位置上。
三。 解答题： 本大题有5小题， 共72分。 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。
18. (本小题满分14分)
答案：（1），即，，∴7分)
2）mn，mn|．，
从而．当＝1，即时，|mn|取得最小值．
所以，|mn|．(7分)
19. (本小题满分14分)
ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．
故取出的4个球均为黑球的概率为．(4分)
ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，且，．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．(5分)
ⅲ）解：可能的取值为．由（ⅰ）得，从而．
的分布列为。
的数学期望．(5分)
20．(本小题满分14分)
证（ⅰ）因为侧面，故。
在中， 由余弦定理有
故有 而且平面。
4分。ⅱ）由。
从而且故。不妨设 ，则，则。
又则。在中有从而（舍去）
故为的中点时，……5分。
ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点。
连则，连则，连则。
连则，且为矩形，又故为所求二面角的平面角………10分。
在中，……5分。
21 . 本小题满分15分)
解：椭圆的顶点为(0，)，即b＝，
e＝＝，所以a＝2，2分。
椭圆的标准方程为＋＝1 4分。
2) 不存在 .5分。
3)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，a(x3，y3)，b(x4，y4)
由(2)可得：|mn|＝|x1－x2|＝
由消去y，并整理得x2＝，ab|＝|x3－x4|＝4，11分。
＝＝4为定值。 5分。
22．(本小题满分15分)
解：（1）依题意在时有解：即在有解。则且方程至少有一个正根。此时4分。
设则列表：---6分。
方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根。
则解得5分。
3)设，则。
在为减函数，且故当时有。
假设则，故。
从而。即5分。
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