衡阳师范学院数学与计算科学系。
学生实验报告。
实验课程名称数学建模（2
系别： 数计系年级： 2012 专业和班级：数学 2 班。
学生姓名。学号。
开课时间： 2014 年下学期。
2014-09-19 星期五。
1、 抽样调查某地区50户居民的月消费支出额数据资料如下（单位：元）：.
1）求出样本的均值、标准差、峰度与偏度；
2）求出样本的0.05分位数、0.25分位数、0.5分位数和0.90分位数；
3）写出经验分布函数的表达式并画出该函数图像；
4）编制频率分布表并画出频率直方图。
2、 某咨询公司调查了中国20个省级卫星电**道晚20点至次日9点**档播广告的时间，统计数据如下（单位：分钟）：
请分别用正态概率图和q-q图评估数据的正态性。
1问题一的求解。
1.1求出样本的均值、标准差、峰度与偏度。
样本是指从总体中抽出的一部分个体。在本题中即为被调查的50户居民的月消费支出额数据。在本题中，设被调查的第户居民的月消费支出额为：
那么所有的这些就构成了本题的样本。
样本的均值即样本均数，是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标，本题求解样本均值的公式为：
标准差是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。本题求解样本标准差的公式为：
峰度描述的是分布形态的陡缓程度。峰度为3表示与正态分布相同，峰度大于3表示比正态分布陡峭，小于3表示比正态分布平坦。而在实际应用中，通常将峰度值做减3处理，使得正态分布的峰度0。
本题求解峰度的公式为：
偏度是统计数据分布偏斜方向和程度的度量，是统计数据分布非对称程度的数字特征。本题求解偏度的公式为：
以下是用matlab程序求解的程序**：
a=[886 864 1027 918 866 926 893 919 946 978 ..
junzhi=mean(a)
biaozhuncha=std(a)
piandu=skewness(a)
fengdu=kurtosis(a)
由以上方法得出所要求解的样本均值为922.70、标准差为79.37、峰度为-0.28，偏度为4.95。
2.1求出样本的0.05分位数、0.25分位数、0.5分位数和0.90分位数。
分位数是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个等份的数值点，若将样本a按照升序重新排列，样本p分位数可如下定义：
这里的n为样本容量，即50。
用matlab软件将这50个样本进行升序排列：
a=[886 864 1027 918 866 926 893 919 946 978 ..
b=sort(a)
排序后的样本为：
由以上方法可知样本的0.05分位数为816,0.25分位数为886,0.5分位数为922.5，0.90分位数为1016.5。
1.3写出经验分布函数的表达式并画出该函数图像。
将样本a按照升序重新排列（见1.2），那么经验分布函数为：
用matlab软件画出该函数图像：
a=[886 864 1027 918 866 926 893 919 946 978 ..
b=sort(a);
h,stats]=cdfplot(b)
经验分布函数图像为。
1.4编制频率分布表并画出频率直方图。
根据以下步骤画出频率直方图：
1）对样本进行分组：由于本题有50个样本数据，将其分为10组较为适宜。
2）确定每组组距：样本极差：1120-651=469。由于。
得出组距为50。
3）确定每组组限：为了使每组的组距相同，我们将样本范围扩大至（650,1150],这样一来，可得出的本组区间为：
4）统计频数和频率，并列出其频率分布表如下：
频率分布表。
频率直方图。
2问题二的求解。
2.1用正态概率图评估数据的正态性。
将样本数据升序排列，即：
计算修正频率，公式为。
其中， 表示样本序号，为样本容量。
结果见下表：
修正频率表。
将点逐一点在正态概论图上：
根据上图可以看出：由于诸点在一条直线附近，可粗略地认为该批数据来自正态总体。
2.2用q-q图评估数据的正态性。
q-q图是一种散点图，它是以标准正态分布的分位数为横坐标，样本值为纵坐标的散点图。 要利用q-q图鉴别样本数据是否近似于正态分布，只需看q-q图上的点是否近似地在一条直线附近，而且该直线的斜率为标准差，截距为均值。而且用qq图还可获得样本偏度和峰度的粗略信息。
用以下matlab程序可作出q-q图：
x=[5.7 5.8 6.
0 6.0 6.0 6.
2 6.2 6.2 6.
3 6.4 6.5 6.
5 6.6 6.8 7.
0 7.0 7.2 7.
2 7.3 7.6];
qqplot(x)
得出q-q图为：
由q-q图我们可以看出：图上的点近似的在一条直线附近，以此可判断样本近似的在一条直线附近。
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