2023年高三理科数学寒假作业（平面向量与三角函数)
姓名班级座号。
一．选择题。
1.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于。
abcd.
2. 若函数的最小正周期为，则它图象的一个对称中心为( )
abcd.
3.在平行四边形abcd中，e、f分别是bc、cd的中点，de交af于h，记、分别为a、b，则＝ (
ab. c． d．
4.平面上a、b、c三点满足则这三点 (
a．组成锐角三角形 b．组成直角三角形 c．组成钝角三角形 d．在同一条直线上。
5.已知函数图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆上，则的最小正周期为。
a．1b．2 c．3d．4
6.半圆的直径ab＝4，o为圆心，c是半圆上不同于a、b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则(＋)的最小值是 (
a．2b．0 c．－2d．－1
7.已知函数的图象如图所示，，则( )
a． b. c． d.
8.一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为 (
abcd.
9.如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，正三角形abc的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△abc的边长是 (
ab. cd.
10.设o为坐标原点，点，若点满足则·取得最大值时，点b的个数是 (
a．1b．2c．3d．无数个。
2．填空题。
11.已知向量， ，满足且，则实数的值为___
12.在△abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，已知，则的值为___
13.已知＝，＝点c在∠aob内，且∠aoc＝30°，设。
)，则___
14.已知，，则的取值范围是___
15.已知在上有两个不同的零点，则的取值范围是___
3．解答题。
16.已知向量，且。
1)求的值；
2)求的值．
17.已知向量其中ω>0，函数，若相邻两对称轴间的距离为。
1)求ω的值，并求的最大值及相应的集合；
2)在△abc中，a、b、c分别是a、b、c所对的边，△abc的面积求边的长．
18.据气象台预报，距s岛正东方向300km的a处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响．
问：s岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时s岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．
2014高三理科寒假作业（平面向量与三角函数）参***。
1．选择题。
1---5：c a b a d 6---10: c b a d b
2．填空题。
三．解答题。
16.[解析] (1)∵a⊥b， ∴a·b＝0. 又∵a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0.
由于cosα0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.
解之得，tanα＝－或tanα＝.
α∈，tanα<0，∴tanα＝－
2)∵αtan<0，由tanα＝－求得，tan＝－或tan＝2(舍去)． sin＝，cos＝－，cos＝coscos－sinsin＝－－
17.[解析] (1)f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＋2sinωxcosωx＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin，由题意可得t＝π，1， ∴f(x)＝2sin.
当sin＝1时，f(x)有最大值2，2x＋＝2kπ＋，x＝kπ＋ k∈z)， x的集合为．
2)f(a)＝2sin＝1
sin＝ 0∴a＝，s＝bcsin＝5，∴c＝5，由余弦定理得：a2＝16＋25－245cos＝21， ∴a＝.
18.[解析] 如下图，设台风中心经过t小时到达b点，由题意：
sab＝90°－30°＝60°，在△sab中，sa＝300，ab＝30t，∠sab＝60°，由余弦定理得：
sb2＝sa2＋ab2－2sa·ab·cos∠sab＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°，若s岛受到台风影响，则应满足条件：
sb|270即sb22702 化简整理得t2－10t＋190
解之得5－t5＋，所以从现在起，经过5－小时s岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束，持续时间：(5＋)－5－)＝2 (小时)
答：s岛从现在起经过(5－)小时受到台风影响，且持续时间为2小时．
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