1．如图，在△abc中，∠abc=90°，ab=7，bc=24，ac=25．点p是△abc角平分线的交点且pd⊥bc于点d．求线段pd的长．
答案详解。过点p作pe⊥ab于e，作pf⊥ac于f，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得pe=pf=pd，然后根据△abc的面积列式计算即可得解．
答案】解：如图，过点p作pe⊥ab于e，作pf⊥ac于f，点p是△abc角平分线的交点且pd⊥bc，pe=pf=pd，
设pd=x，则s△abc=bcpd+abpe+acpf=abbc，即×24x+×7x+×25x=×7×24，解得x=3，∴pd=3．
点评】题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
2．如图，o是△abc三条角平分线的交点，若∠bac = 70°，则∠boc
答案。解析。
根据三角形内角和定理可求得∠abc+∠acb的度数，再根据角平分线的定义可求得∠obc+∠ocb的度数，从而不难求解．
解：∵∠bac=70°，∠abc+∠acb=110°，点o是∠abc与∠acb的角平分线的交点，∠obc+∠ocb=55°，∠boc=125°．
3.如图，点o是△abc的两条垂直平分线的交点，∠bac=70°，则∠boc= ．
答案。解：∵o是△abc的两条边垂直平分线的交点，oa=ob=oc，∠oba=∠oab，∠oca=∠oac，∠obc=∠ocb，∠bac=70°，即∠bao+∠cao=∠abo+∠aco=70°，∠obc+∠ocb=180°-2×70°=40°，∠boc=180°-（obc+∠ocb）=140°，故答案为：
140°．
解析。由o是△abc的两条边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，可得oa=ob=oc，即可得∠oba=∠oab，∠oca=∠oac，∠obc=∠ocb，又由∠bac=70°，即可求得∠obc+∠ocb的度数，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5.等腰三角形顶角为100°，两腰的垂直平分线交于点p，则点p在( )
a.三角形内 b.三角形的底边上 c.三角形外 d.无法判断。答案。解：
如图所示，设垂直平分线mn、oq相交于点p．
ab＝ac，∴∠abc＝∠c．
∠bac＝100°，∴abc＝(180°－100°)÷2＝40°，am＝12ab，ao＝12ac，∴am＝ao．
又ap＝ap，∴rt△amp≌rt△aop，∠pam＝∠pac＝50°．
mn垂直平分ab，∴pa＝pb．
∠pba＝∠pab＝50°＞∠abc，点p在△abc的外部．
故答案为：c
解析。根据题意画出草图分析．根据等腰三角形性质可得∠abc＝∠c＝40°；证明rt△amp≌rt△aop，得∠pam＝∠pac＝50°；
根据线段垂直平分线性质知，∠pba＝∠pab＝50°＞∠abc，得解．
6.如图，d为△abc 内一点，cd平分∠acb,,be⊥cd垂足为d,交ac于点e，∠a=∠abe ,.若ac=5，bc=3,,则bd的长为()
a. 2.5
b. 1.5
c. 2d. 1
答案详解。d
解：如图，平分，又，所以d选项是正确的。
解析：由已知条件判定的等腰三角形，且；由等角对等边判定，则易求。
本题考查了等腰三角形的判定与性质。注意等腰三角形“三合一”性质的运用。
如图，在△abc中，ab=ac，∠bac=90°，直角∠epf的顶点p是bc的中点，两边pe，pf分别交ab，ac于点e，f，连接ef交ap于点g．给出以下四个结论：①∠b=∠c=45°；②ae=cf；③△epf是等腰直角三角形；④四边形aepf的面积是△abc面积的一半．其中正确的有（ ）
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
答案。考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
分析】根据等腰三角形的性质求出∠b=∠c，即可判断①；根据等腰直角三角形求出ap⊥bc，ap=bc=pc，∠bap=∠cap=45°=∠c，求出∠fpc=∠epa，根据asa推出△ape≌△cpf，推出ae=cf，pe=pf，s△ape=s△cpf，再逐个判断即可．
解答】解：∵△abc中，ab=ac，∠bac=90°，∠b=∠c==45°，∴正确；
∵ab=ac，∠bac=90°，直角∠epf的顶点p是bc的中点，ap⊥bc，ap=bc=pc，∠bap=∠cap=45°=∠c．
∠apf+∠fpc=90°，∠apf+∠ape=90°，∠fpc=∠epa，在△ape和△cpf中，△ape≌△cpf（asa），ae=cf，∴②正确；
pe=pf，∠epf=90°，△epf是等腰直角三角形，∴③正确；
△ape≌△cpf，s△ape=s△cpf，bp=cp，s△apc=s△abc，四边形aepf的面积是。
s=s△ape+s△apf
s△cpf+s△apf
s△apcs△abc，∴④正确；
即正确的有4个．
如图，在△abc中，已知ab=ac, ∠bac和∠acb 的平分线相交于点d,. adc=125 求∠bac和∠acb的度数。
答案详解。解：,ae平分，等腰三角形三线合一),又平分，又，解析：
根据等腰三角形三线合一的性质可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出。
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记性质是解题的关键。
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