四点共圆判断及其应用。
]：在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此，掌握四点共圆的方法很重要。
定义法：如果a、b、c、d四个点到定点o的距离相等，即oa＝ob＝oc＝od，那么a、b、c、d四点共圆．
角度关系法：
①如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
②如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
③如果两三角形有公共底边，且同侧又有相等顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。
线段关系法：
相交弦定理的逆定理：若两线段ab和cd相交于e，且ae·eb=ce·ed，则a、b、c、d四点共圆。
割线定理的逆定理：若相交于点p的两线段pb、pd上各有一点a、c，且pa·pb =pc·pd，则a、b、c、d四点共圆。
托勒密定理的逆定理：若四边形abcd中，ab·cd＋bc·da=ac·bd，则abcd是圆内接四边形。
另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。
例1：如图，p为△abc内一点，d、e、f分别在bc、ca、ab上。已知p、d、c、e四点共圆，p、e、a、f四点共圆，求证：b、d、p、f四点共圆。
例2：设凸四边形abcd的对角线ac、bd互相垂直，垂足为e，证明：点e关于ab、bc、cd、da的对称点共圆。
例3：梯形abcd的两条对角线相交于点k，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，点k位于这两个圆之外，证明：由点k向这两个圆所作的切线长度相等。
例4：如图，a、b为半圆o上的任意两点，ac、bd垂直于直径ef，bh⊥oa，求证：dh=ac.
例5：如图，已知锐角三角形abc，以ab为直径的圆与ab边的高线cc'及其延长线交于m、n，以ac为直径的圆与ac边的高线bb'及其延长线交于p、q，求证：m、n、p、q四点共圆。
例6：如图，abcd是圆内接四边形，ad、bc的延长线交于p，△pab与△pcd的外心、垂心分别是、和、，求证：、、
四点共圆。例7：两个等圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一条直线上的四个点，试证：这四个点必在同一个圆周上。
例8：如图，ab为定⊙o中的定弦，作⊙o的弦、、…对其中每一i（i＝1，2，…，2000）都被弦ab平分于点，过分别作⊙o的切线，两切线交于，求证：必在同一个圆周上，并指出圆心是什么点。
1.如图，在⊙o的内接四边形abcd中，ad是直径，∠c=128°，则∠adb等于 。
2.如图，已知ab是半圆o的直径，∠bac = 30°，d是上任意一点，那么∠d的度数是 。
3.如图，在⊙o中a、b、c分别为圆周上的三点∠abc的外角的度数为n，那么∠aoc的度数为 。
4.如图，△abc中，be⊥ac于e，cf⊥ab于f，∠aef = 45°，∠efc=10°，则∠abe= 。
5.四边形abcd为⊙o的内接四边形，∠bod=110°，那么∠bcd等于 。
6.如图，四边形abcd内接于⊙o，延长ad、bc相交于点m，延长ab、dc相交于点n，∠m=40°，∠n = 20°，则∠a的度数是 。
7.如图，△abc中，∠a＝60°，bc＝4，以bc的直径作半圆o交ab于d，交ac于e，则de的长是 。
8.如图，⊙o中，直径ab⊥弦cd于e，弦df交ab于g，h是fc延长线上一点，∠bch = 80°，则∠bcg的度数是 。
9.如图，等边△abc的边长为a，以ac为直径作⊙o交bc于d，作de⊥ac，交⊙o于e，则ae的长是 。
10.如图，△abc内接于直径为d的圆，设bc =a，ac=b，则△abc的高cd的长为 。
11.两圆相交于p、q两点，过q任作一直线交两圆于a、b，自a、b两点各引所在圆的切线，两切线交于c，求证：a、b、c、p四点共圆。
12.如图，⊙、相交于a、b两点，p是ba延长线上一点，割线pcd交⊙于c、d，割线pef交⊙于e、f，求证：c、d、f、e四点共圆。
13.如图，梯形abcd的两条对角线ac、bd交于点k，分别以梯形的两腰ab、cd为直径各作一圆，点k位于这两个圆之外，证明：由点k向这两个圆所作的切线长度相等。
14.如图，在凸四边形abcd的bc边上取e和f（点e比f更靠近点b）.已知∠bae =∠cdf及∠faf = fde，证明：∠fac =∠edb.
1.如图，正方形abcd的面积为2 cm，e、f分别为cd、da的中点，be、cf相交于p，则ap的长是 cm.
2.如图，，且∠p= 40°，则∠acd的度数是 。
3.如图，在以o为圆心，ab为直径的半圆上，有c、d两点，点p在ob上，并且∠ocp＝∠odp＝10°.如果∠aod = 40°，则∠boc的度数是 。
4.如图，ab是半圆o的直径，∠e＝20°，∠cbd＝40°，则∠bdc的度数是 。
5. ad、bc是过圆的直径ab两端点的弦，且bd与ac相交于e.若ab=10，则ae·ac＋be·bd的值是 。
6.如图，已知mn切⊙o于a，弦bc交oa于q，bp⊥bc交mn于p，∠can=25°，则∠apq的度数是 。
7.如图，已知△abc的外接圆的圆心o在ab上，ac =4，cd为边ab上的高，g为cd上的一点，ag的延长线交⊙o于h，则ag·ah的值是 。
8.如图，已知△abc的边bc的垂直平分线交△abc的外接圆⊙o 于d、e，交ab于f，交ca的延长线于p，过p作⊙o的切线pt.若pt=5，则pf·po的值是 。
9.如图，已知⊙o内切于△abc，切点分别是d、e、f，df的延长线和bc的延长线相交于g，bo的延长线与df相交于k．若ec =1，cg = 3，则gf·gk的值是 。
10.四边形abcd内接于圆，另一圆的圆心o在边ab上且与其余三边相切。已知ab=6，dc =3，则四边形abcd的周长是 。
11.如图，两圆相交于p、q两点，过点p作两割线apb与cpd，直线ac、db相交于s，求证：q、s、c、d四点共圆。
12.如图，设四边形abcd的两组对边ab、dc及ad、bc的交点分别为e、f.若∠e、∠f的平分线互相垂直，则a、b、c、d四点共圆。
13.如图，已知⊙o中，弦ac⊥bd于e，过a、b、c、d分别作⊙o的切线，两两相交成四边形a'b'c'd'，求证：a'、b'、c'、d'四点共圆。
14.已知三个圆两两相交，则三条公共弦所在的直线或交于一点或互相平行。
1.如图，四边形abcd的边ba与cd的延长线交于p点，pa = 5，ab＝3，pd＝4，dc＝6，∠acb＝30°，则∠adb的度数是 。
2.如图，四边形abcd中，对角线ac、bd交于点o，且oa：ob：
oc：od=3：4：
8：6，∠abc=80°，∠acd＝45°，则∠dbc的度数是 。
3.如图，在四边形abcd中，ab =bc =ac=ad，ah⊥cd于h，cp⊥bc交ah于p.若ab =，ap =1，则bd的长是 。
4.如图，ad为△abc中bc边上的高，de⊥ab于e，df⊥ac于f点。若∠c=40°，则∠aef的度数是 。
5.五边形abcde中，ae∥bd，ab = de，ac、bd相交于f.若af=8，fc=2，bf =4，fd =4，∠aed = 100°，则∠acd的度数是 。
6.在等腰三角形abc中，顶角∠c = 80°，过a、b引两直线在三角形内交于一点o.如果∠oab＝10°，∠abo＝20°，那么∠aco的度数是 。
7.如图，⊙o的半径r＝3，ab、cd是⊙o的两条直径，且=60°，在cd上任取一点p，pa、pd分别交cd、ab于e、f.记m=ae·ap＋df·dp，则m的值是 。
8.如图，△abc中，ab＝ac，d是bc上一点，且bd：dc =1：2，ch⊥ad于h.若bc=6，则dh·da的值是 。
9.如图，ab、cd为⊙o的二条弦，且ab平分cd于m，过c、d分别作⊙o的切线交于p.若∠poa=n°，则∠pba的度数是 。
10.如图，圆内接四边形abcd的一组对边ab、cd的延长线交于p点，另一组对边bc、ad的延长线交于q点，从p、q分别引圆的二条切线e，f为切点。若pq=6，则的值是 。
11.设凸四边形abcd的对角线ac、bd互相垂直，垂足为e，证明：点e
关于ab、bc、cd、da的对称点共圆。
12.设h是锐角△abc的垂心，由a向以bc为直径的圆作切线ap、aq，p、q为二切点，求证：p、h、q三点共线。
13.如图，在△abc中，一个以o为圆心的圆经过顶点a和c，又与ab和bc分别交于点k和n，△abc和△bkn的外接圆恰好相交于b和另一点m，求证：∠bmo=90°.
14. d、e、f分别为△abc的边bc、ca、ab上的点，且∠fde=∠a，def =∠b.又设△afe、△bdf、△ced均为锐角三角形，它们的垂心依次为，求证：
（1）； 2）△≌def．
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