第十讲复习与总结。
问题探索】1．二次函数这一章是初中阶段的重点，也是难点，我们学了哪些基础知识和基本技能？请你说说！
2．三角函数我们重点应该掌握哪些内容？应该能熟练解答哪些题型？
3．统计与概率的简单应用，虽然很简单，但是我们也必须掌握它，中考一定要考的，你能说说这两部分你学到些什么内容吗？
总结归纳】一、二次函数的基础知识和基本技能。
1．二次函数的图像和性质。
三种形式的解析式：
二次函数的系数与图像特征的关系：
的正负决定抛物线的开口方向，大小决定抛物线开口大小（绝对值越大，开口越小）；
和的值（或的值）决定抛物线的对称轴的位置：对称轴是或者；
的值决定了抛物线与纵轴（y轴）的交点坐标：（0，c）；
方程的根决定了抛物线与横轴（x轴）的交点坐标：（，0）和（，0）；
、三个系数（或、）共同决定抛物线顶点坐标：（，或（h，k）；
即）的正负决定了抛物线与横轴（x轴）的交点个数；
抛物线的平移：
平移口诀：左加右减（x加减），上加下减（y加减）。一般将解析式化简成顶点式，再看平移，较为准确。
二次函数的性质。
先找到对称轴，再看开口方向，根据大致图像看性质——判断y随x增大而增大（或者减小）；
2．二次函数的基本技能。
待定系数法求二次函数解析式：已知三点设一般式；已知顶点和另外一点设顶点式；已知图像与x轴两交点设交点式；
配方法：把一般式配成顶点式，求图像顶点坐标、对称轴，或运用配方法求函数最值；
在应用题中运用等量关系列二次函数解析式：根据实际问题，找等量关系，列函数解析式解决实际问题。
二、三角函数的概念与应用。
1．三角函数概念：
sin=；cos=；tan=
2．特殊角的三角函数值：
sin30°=；sin45°=；sin60°=；
cos30°=；cos45°=；cos60°=；
tan30°=；tan45°=1；tan60°=.
3．三角函数的应用：
三角函数的应用题中，常见的图形如上所示，在解题时，通常都要作辅助线，构造直角三角形，然后在两个或一个直角三角形中，利用三角函数或勾股定理列方程进行解答。
三、统计与概率的简单应用。
1．统计题的解答：一定要运用统计知识作为说理依据，一定要辩证的分析问题，一定要全面的分析；
2．概率题解答：要掌握几种方法——枚举法、列表法、树状图法；一定要严格按照概率公式进行计算；要注意解题中的细节。
精选例题】一）二次函数的概念、性质及其图像特征。
例1 （1）下列函数中，不是二次函数的是（ ）
a、yb、y=2（x-1）2+4
c、y= d、y=（x-2）2-x2
2）点e为正方形abcd的bc边的中点，动点f在对角线ac上运动，连接bf、ef．设af＝x，△bef的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
3）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为＿＿＿
解析：1）先把解析式化为一般形式，与二次函数的定义进行比较即可，答案为d；
2）如果设正方形周长，列出△bef周长关于x的函数关系式，结果发现是含二次根式的解析式，看不出函数图象。因此，只能按照af从小到大，看f点位于几个关键点（a点、ac中点、c点）处三角形的周长，通过直观判断其周长的变化来选择图像，设正方形边长为a，f位于a处周长为、位于ac中点处周长为、位于c点处周长为，由此可以看出，y随着x的增大先减小再增大，因此选择b；
3）把点（m，0）代入解析式得，变形得，代入。
结果为2009。
前思后想：第（2）题，这类题型通常只需观察计算几个特殊位置y与x的关系，进行比较、猜想；
第（3）题，也是一类典型的整体代入法求代数式的值的题型，常告诉我们抛物线过某点或方程的解为多少，再求某代数式的值，解题时把点的坐标或方程的解代入解析式或方程，得到一个代数式的值，在结合要求的代数式的结构进行整体代入。
例2 设函数 （k为实数）．
1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；
2）根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
3）对任意负实数k，当x解析：
1）当k＝1时，，当k＝0时，，图略．
2）对任意实数k，函数的图象都经过点（－2，－1）和点（0，1）
证明：把x＝－2代入函数，得y＝－1，即函数的图象经过点（－2，－1）；把x＝0代入函数，得y＝1，即函数的图象经过点（0，1）．
3）当k为任意负实数，该函数的图象总是开口向下的抛物线，其对称轴为，当负数k所取的值非常小时，正数靠近0，所以靠近－1，所以只要m的值不大于－1即可．
前思后想：此题考察了中a是否等于0，决定了它是什么函数，还考察了二次函数图像与一次函数图像的交点求法，以及二次函数的性质，是一道综合题。
例3 （1）已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是（ ）
2）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①；c>1；③2a－b<0；④a+b+c<0。你认为其中错误的有。
a．2个 b．3个 c．4个 d．1个。
3）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：
点a（，）b（，）在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是。
a． bcd．
解析：1）由函数（其中）的图象可知a=1，b<—1，而一次函数的图象过（0，b）点，且y随x增大而增大，因此选d；
2）由图像看出：抛物线与x轴两交点可推出“”；与y轴交点（0，c）的位置可推出“0（3）直接把、放到**中合适的位置，写出对应的和，即可知晓在0——1之间，在1——4之间，因此选择b答案。
前思后想：第（1）题，根据抛物线特征判断字母系数的正负性，再根据字母系数的正负性判断一次函数图像的特征，此题要求学生牢记和熟练掌握三个函数的图像特征；
第（2）题，根据抛物线的特征点、对称轴、与坐标轴轴交点坐标、以及横坐标为1或—1的点的位置来判断二次函数系数的关系，也要求熟练掌握；
第（3）题，考察了列表法表示二次函数，要求熟练的从**中看出图像的特征“对称轴，抛物线的对称性（典型的对称点）”，从而判断函数值的大小。此题也可以画出二次函数图像的草图，在图像上标出两点，从图像上判断两点纵坐标的大小。
牛刀小试：1．若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是
a．=l b．>l c．≥l d．≤l
2．抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是（ ）
a） （2，－3） （b） （2，3） （c） （2，3） （d） （2，－3）
3．二次函数的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）
4．二次函数有（ ）
a． 最大值 b． 最小值 c． 最大值 d． 最小值。
5．已知二次函数，当自变量x取m时，对应的函数值大于0，当自变量x分别取m-1，m+1时对应的函数值、,则必值，满足（ ）
a. >0,>0 b. <0,<0 c.<0,>0 d.>0,<0
6．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ）
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
答案： 5. b
二）二次函数与方程。
例4 （1）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
2）二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）
a．－1＜x＜3 b．x＜－1
c． x＞3d．x＜－1或x＞3
3）已知一元二次方程的两个实数根、满足和，那么二次函数的图象有可能是（ ）
4）如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点a的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 < 0的解集是（ ）
a．x > 1 b．x < 1 c．0 < x < 1 d．1 < x < 0
解析：1）根据解析式画出图像，再画出直线y=k（平行于x轴的一条直线），使它们恰好3个交点，由此数形结合的方法容易选出答案为d；
2）直接从图像上找出位于x轴下方的部分，看x的取值范围即可，故选答案a；
3）由，可得两根分别为1和3，对称轴为直线x=2，故选择答案c； （4）由不等式可知 < x2 —1，因此只要画出双曲线和二次函数的图像，由图可知，选择答案为d。
前思后想：几道题都考察了数形结合的数学思想，（2）（4）两题是二次函数与不等式的关系，（1）（3）两题，考察的是方程与二次函数的关系。
第（1）题是一个分段函数，画图像时要注意自变量的取值范围，而且，此题讲解时，可以进一步发挥，要求学生分别写出“使y=k成立的x值恰好有两个、三个、四个、0个”的k的取值范围；
第（4）题不等式 + x2 + 1 < 0变形后得 < x2 —1，分别画y1=和y2=—x2 —1的图像，由图看不等式的解“y1在y2的下方部分横坐标的范围”，注意y2的图像并不是原图上的抛物线，必须重新画，y2=—x2 —1和y= x2 + 1的图像关于x轴对称，沿x轴翻折即可。
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