第二周第1节。
22.2.4 一元二次方程的根与系数关系。
教学目的：1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用．
2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．
重点：韦达定理的推导和初步运用．
难点：定理的应用．
教学过程：复习提问：
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？
2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为。
3．通过应用定理，培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力．
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么。
我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．
得出：如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q 可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，∴ 方程x2＋px＋q＝0，即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
例1 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值．
讲解例1考虑下列两个问题；
1．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？
2．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？
我们可以从这两题中看出，根与系数之间的运算是十分巧妙的．本课我们将深入**这一问题．
新课。例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．
在讲本题时，要突出讲使用韦达定理，寻求x2＋px＋q＝0中的p，q的值．
例4 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：
(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数．
小结。本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法：(1)已知方程求两根的各种代数式的值；(2)已知两根的代数式的值，构造新方程；(3)已知两根的和与积，构造方程，解方程，求出与根对应的数．
作业：练习册第19页。
板书设计：组长签名：
第二周第2,3节。
习题22.2
教学目标：1.通过习题提高学生做题解题能力。
2.在做题的过程中重新体会上节课当中讲的一些重点和难点。
3.培养学生勤奋做题的好习惯。
重点：理解题要求。
难点：把所学过的课本知识适当的应用在实际问题上。
教学过程：解：设一个直角边为，则另一个为，按照题意得：
解方程得：斜边为。
解：个公司参加了这次商品交易会，按照题意得：
解方程得：这次商品交易会参加了10个公司。
解：设宽为，则长为，按照题意得：
解方程得：矩形的长为，宽为。
解：设这是边形，则按照题意得：， 解方程得：这是一个8边形。有18条对角线的多边形不存在，因为无整数解。
作业：板书设计：
组长签名：第二周第4节。
22.3实际问题与一元二次方程。
教学目标：1.掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
2.通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
3. 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
重点：用“倍数关系”建立数学模型。
难点：用“倍数关系”建立数学模型。
教学过程。复习引入。
（学生活动）问题1：列方程解应用题。
下表是某一周甲、乙两种**每天每股的**价（**价：**每天交易结果时的**）：
某人在这周内持有若干甲、乙两种**，若按照两种**每天的**价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙**各多少股？
老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙**各x、y张，由于从表中知道每天每股的**价，因此，两种**当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的**价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．
解：设这人持有的甲、乙**各x、y张．
则解得。答：（略）
探索新知：上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．
（学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．
解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2=3.31
去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31
整理，得：x2+3x-0.31=0
解得：x=10%
答：（略）以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．
例1．某电脑公司2024年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的。
二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．
解：设平均增长率为x
则200+200（1+x）+200（1+x）2=950
整理，得：x2+3x-1.75=0
解得：x=50%
答：所求的增长率为50%．
巩固练习：（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米？
（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设。
二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为。
应用拓展：例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x1=-2（不符，舍去），x2==0.125=12.5%
答：所求的年利率是12．5%．
问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.
1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100）
解：设每张贺年卡应降价x元。
则（0.3-x）（500+）=120
解得：x=0.1
答：每张贺年卡应降价0.1元．
探索新知：刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.
1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元？如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢？即绝对量与相对量之间的关系．
例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正**是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
依据题意知：**矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：
上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：**矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则**矩形的面积是封面面积的．
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