高二（上）数学专题讲稿（五） 过椭圆焦点的弦的性质研究。
班级姓名。一、问题的提出：
设椭圆的一个焦点为，相应的准线方程为。
1） 求椭圆的方程；
2） 已知过点的直线和椭圆相交于两点，求证：；
3） 过点作互相垂直的直线分别交椭圆于和，求的最小值。
分析与解：（1）由题意有，所求椭圆方程为。
2）如图：当时，设直线的方程为。
与椭圆联立，得：
消去，得：令，那么：，由椭圆第二定义知：
上式分子分母同时乘以，得：，得证。
3）设两条直线的倾斜角分别为，由（2）问的结论，知：
令，请你想办法求这个函数的最值。
二、问题的引申：
上题第二问的结论涉及到椭圆“焦点弦”的性质。一般地，有如下结论均可用直线与椭圆的知识加以证明：
已知椭圆，倾斜角为的直线经过椭圆。
的焦点，且与椭圆相交于两点，椭圆的离心率为，焦准距”（即：焦点到相应准线的距离）为（），求证：
（焦点弦长公式）
（注意：点在点的上方）
以线段为直径的圆与相应准线相离。
经过点的切线和经过点的切线如果相交，那么交点一定在相应的准线上。
过左准线上任意一点向椭圆引两条切线，记切点为和，则：三点共线。
经过点的切线和经过点的切线如果相交，那么交点到轴的距离为定值。
下面我们逐一来研究这些问题。解决了这几个问题后，相信同学们的分析能力和运算能力要上一个台阶。
分析】在证明命题①和②的过程中，当时，可以求出，结论显然成立，当时，直线的方程可设为：，联立直线与椭圆的方程，得：，由（1）得：
代入（2），有： （注意应写成一元二次方程的标准形式）
设，则为（*）式的两根，所以由韦达定理，有：
结合椭圆第二定义，可得：
请你按照这个思路将过程补充完整）
对于命题②，我们构造如右图所示的，并设。
不妨设，则：，于是：
那么，以下的过程，请同学们补充完整）
第③问请同学们自己证。
命题④需要一个补充定理（ⅰ）过椭圆上任一点的切线方程。
怎样证明呢？）
因此，过点的切线的方程为：，过点的切线的方程为：，下面该怎样证明与的交点一定在准线上呢？）
命题⑤的证明又需要一个补充定理（ⅱ）过椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，那么。
直线的方程为（这就是“切点弦”所在的直线方程）
在椭圆的左准线上任取一点，其中，，则切点的连线的方程为，下面只需验证直线经过点。将方程中的换成，换成，得：，得证。
焦点弦还有下面一条性质，你需要足够的耐心去证明它：
不论取何值，的值是一个定值，这个定值为（亦即）。
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