2.1 静电场和静电势。
静止电荷产生静电场，电荷和电场的分布均与时间无关，场方程为。
无旋性及其积分形式表明静电场为保守力场，它对电荷作的功与路径无关，只与电荷的始末位置有关，故可引入标势函数 ,使。
任意两点与之间的电势差，等于电场将单位正电荷从点移至点作的功。
因此，用电势描述电场时，必须选择电势零点。如令 ,则任一点的电势。
就表示单位电荷在该点的静电势能，此时的空间分布构成有明确意义的标量场。当电荷分布于有限区域时，通常以无穷远即为电势零点。将(2.
2)式代入(2.1)第一式，得电势的泊松方程。
这方程在无界空间中的解为。
其中无穷远处为电势零点，积分遍及电荷分布区域v .对此式取场点的负梯度即给出(1.4)式。
若电荷分布函数给定，由(2.6)式可求出电势，再由(2.2)式求出电场。
若电场已经求出，则由(2.4)式可求出电势。如果已知电场或电势分布，由(2.
1)的第一式，或泊松方程(2.5),可求出电荷分布。
2.2 电势多极展开。
任何一个电荷系统在其外部的电场，原则上均可表示成一系列多极矩场的叠加(例如，参见本章习题2.12).对于电荷系统在远处的场，(2.6)式的级数展开式为。
是坐标原点到场点的距离，这级数一般地包含各级多极矩的电势，前三项为。
单极项，～ 2.8)
偶极项，～ 2.9)
四极项，～ 2.10)
系统的净电量，电偶极矩和电四极矩分别由下面的积分给出。
单极项有球对称性，相当于系统的净电量集中于坐标原点时产生的电势。电偶极矩的电场为。
电四极矩也可定义为。
其中是坐标原点到电荷分布点的距离。(2.13)和(2.
15)定义的四极矩均为对称张量，即 ,但(2.15)满足 ,因此它只有5个独立分量。对同一个电荷系统，用这两个定义计算出的四极矩一般不同，但给出的四极矩电势是一样的。
电荷分布偏离球对称的系统必定出现多极矩，而各级矩的电势按距离的负幂次衰减，随着的增加，高级矩的电势比低级矩的电势衰减得更迅速。因此任何电荷系统在其外部的场，均以其最低级矩的场为主。从(2.
12)可看出，若电荷分布存在坐标原点的对称性，这系统的电偶极矩 ；从(2.13)或(2.15)则可看出，若电荷分布存在坐标原点的反对称性，电四极矩 .
2.3 静电场边值问题。
在有不同介质分布的情形，已知电荷的电场将使介质出现极化电荷，或使导体出现感应电荷，这些电荷反过来又激发电场，总电场是所有电荷的电场之叠加。但极化电荷和感应电荷的分布是未知的，因此一般情况下不可能由积分式(2.6)求出电势，必须根据给定介质的电磁性质和边界条件，求解电势或电场的微分方程，这就是静电场边值问题。
寻找这类问题解答的依据是唯一性定理，即：
（1）满足各求解区域内电势(或电场)的微分方程。
（2）并且满足相邻区域的边值关系，以及给定的边界条件。
的解，是唯一的。因此，寻找边值问题解答的前提，是必须根据具体物理问题找出全部定解条件，再根据这些条件采用恰当的数学方法求解。
静电场方程和边值关系在每一种连续分布的介质内，静电场方程为。
若该区域内介质线性均匀，便有 ；若该区域为真空，有 ；若该区域是导体则 .在两种介质的分界面上，边值关系一般地为。
第一个边值关系包含着 , 是界面的自由电荷面密度， 是极化(束缚)电荷面密度。在绝缘介质的分界面上，一般有 .
静电势方程和边值关系若区域内介质线性均匀，电容率为 ,由场方程(2.16),此区域内的电势方程为。
（或 ，当 ） 2.18)
**性均匀介质分布区域与的界面上，由(2.17)得边值关系。
由于静电场中的导体内部 ,故导体是等势体，其表面为等势面，因此有导体存在时，必须给定每个导体的电势，或给定每个导体所带的净电量。
只有满足每个求解区域内的泊松方程或拉普拉斯方程(2.18),在界面s 上又满足(2.19),以及给定的边界条件。
第一类边值），或 （第二类边值） (2.20)
的电势解，才是决定这区域内电场唯一的正确解。
维持稳恒电流的电场——稳恒电场也是静电场，可令 .若导电介质是分区线性均匀的，则由方程和欧姆定律可知，每个区域内的电势都遵从拉普拉斯方程 .设相邻区域介质的电导率为和 ,边值关系， 便可表示为。
在各线性均匀区域内满足方程 ,在界面上又满足(2.21)及给定边界条件的解，是唯一的。
求解边值问题没有普遍适用的方法，必须依据唯一性定理，根据具体物理问题寻找适当的方法求解，包括从物理上猜测尝试解。复杂问题通常用数值计算找出近似解。对于较为简单或有某种对称性的情形，除个别奇点外，问题的解可用解析函数表示出来。
常用的解析方法是分离变量法，镜像法和格林函数法。
分离变量法当介质分区线性均匀，而且分界面与某一类曲线正交坐标系的坐标面重合时，这是一种简单而有效的方法。若求解区域内自由电荷体密度 ,则此区域内电势满足拉普拉斯方程 ；或虽然 ,但它的电势可以找到，亦即可以找到泊松方程(2.18)的一个特解，由迭加原理，总电势为 , 是(2.
18)的齐次方程的通解，利用分离变量法可将拉普拉斯方程的通解表示成级数，各区域电势通解中的待定系数，由给定的边值关系和边界条件确定，从而解出电势分布。
镜像法这种方法是用若干个假想的镜像电荷，等效未知的电荷(包括介质的极化电荷或导体表面的感应电荷)分布，这些假想电荷与已知电荷的总电势(或总电场),只要满足全部定解条件，所得到的解就是唯一正确的解。必须注意的是，为使找到的解满足每个求解区域内给定的电势或电场方程，假想的镜像电荷必须置于每个求解区域之外，镜像电荷的数值及其位置，由边值关系确定。
格林函数法若区域v内电荷密度函数给定，泊松方程的解可表示为。
这种方法的关键，是根据具体问题和给定的边界条件，选择正确的格林函数 ,它是格林方程。
在一定边界条件下的解。若给定的是v的界面s的值，应当选择第一类边值问题的格林函数。
此时(2.22)式便成为。
若给定的是v的界面s的值，应当选择第二类边值问题的格林函数：
这里s是界面的总面积，此时(2.22)为。
是界面电势的平均值。
2.4 静电能外电场对电荷体系的作用能。
电荷体系的静电能线性均匀介质内静电能量密度为 ,其中 .由于电场一般地分布于全空间，因此电荷系统的总静电能，是电场所有分布区域内的能量之和，即总能量一般地由积分。
给出。由 , 总静电能量也可由下式计算。
积分体积v为电荷分布区域。
外电场对电荷体系的作用能电荷在外电场中的静电势能，就是外场对电荷的静电作用能。设外场电势为 ,则外电场对点电荷q的作用能为，对此式求负梯度，即给出外电场对电荷的作用力 .若体积v内电荷密度为 ,外场对这带电体的静电作用能便为。
当电荷分布于小区域，可将外场电势对坐标原点(选在v内)展开为泰勒级数，(2.30)便给出外场对电荷体系作用能的级数展开式。
是外场在原点的电势。电荷体系的净电量q,电偶极矩与四极矩 ,由(2.11), 2.12)和(2.13)式计算。外电场对电偶极子的作用能、作用力和力矩分别为。
从(2.32)式看到，电矩矢量与外场方向一致时，电偶极子的能量最低；(2.34)式表明，外场的力矩将使朝的方向转动。
(2.33)则表明，电偶极子将朝着场强最大的方向平动，若外场为均匀场，则 .外电场对电四极矩的作用能为。
许多介质分子除了有电偶极矩，还有电四极矩，原子核也有一定的四极矩，因此它们在非均匀电场中有一定的四极矩能量。
第二章静电场
1 库仑定律与电场强度 静电场 相对观察者静止，且电荷电量不随时间改变的电荷产生的场。一。库仑定律。真空中两个点电荷之间的作用力 式中 表示从q 到q的矢量。是q 到q的距离。是的单位矢量。称为真空的介电常数，是表征真空电性质的物理量，其值为 二。电场强度 静电场的基本物理量，描述电场的强弱。空间一...
静电场作业 二
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静电场习题二
1 如图所示，在平面直角中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点o处的电势为0 v，点a处的电势为6 v,点b处的电势为3 v,则电场强度的大小为 a.200v m b.200 v m c.100 v m d.100 v m 2 物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通...