第二章习题答案

第二章答案。

1. 计算下列函数关于的：

注： ，解：（1）

2. 令，试证是在上带权。

的正交多项式，并求。

解：是在上带权的正交多项式。

3. 是区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式族，其中，求。

解法一： 解法二：设，则由。

4. 求，使积分取得最小值。

解：题意即为在中求的最佳平方逼近多项式，故满足法方程。

或者按下述方法：

因为。上式分别对求偏导，并令其为零，有。

从而也有 ，

5. 对，定义。

问它们是否构成内积？

推出，即为常数，但不一定为0，故（1）不构成内积。

2）显然内积公理的1），2），3）均满足，考察第四条。

若，则必有反之，若，则且，由此可推得， 即内积公理第四条满足，故（2）构成内积。

6. 对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式。

解：7. 利用正交化方法求上带权的前三个正交多项式。

解： 8. 判断函数在上两两正交，并求一个三次多项式，使其在上与上述函数两两正交。解：

所以，在上两两正交。

2）设所求多项式为。

9. 用最小二乘原理求矛盾方程组。

的最小二乘解。

注：给定线性代数方程组，，当时，称其为超定方程组。求使得。

取最小值。应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明为方程组。

的解。称为超定方程组的最小二乘解。

解法一：由题意得：

所以即是所求的最小二乘解。

误差平方和为。

解法二：求，使误差平方和。

为最小，令。

得方程组如下：

解方程组有：

10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。

解：将=19,25,31,38,44分别代入，得。

所以误差。11. 求形如的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合。

解：设，两边取对数得令，则有。

设，于是得到正规方程组：

其中，， 正规方程组化为：

得=2.43689 =0.291211

2.43689所以=11.45 ==0.291211

2.43689所以=11.45 1==0.291211

12. 求函数在给定区间上对于的最佳平方逼近多项式：解：设。

13. 上求关于的最佳平方逼近多项式。

解：legendre是[-1，1]上的正交多项式。取。

14. 求在上的三次最佳平方逼近多项式。

解： 15. 已知勒让德多项式，试在二次多项式类中求一多项式，使其成为上的最佳平方逼近函数。

解：,设 由题意可知

即： 即：

解得： 16. 求上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。

解：设。

第二章习题答案

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