3.4 求证：
a） （b）
解：（a）由自由能的全微分（式（3.2.9））
及偏导数求导次序的可交换性，易得。
这是开系的一个麦氏关系。
a） 类似地，由吉布斯函数的全微分（式（3.2.2））
可得。这也是开系的一个麦氏关系。
3.5 求证：
解：自由能是以为自变量的特性函数，求对的偏导数（不变），有。
但由自由能的全微分。可得。
代入式（1），即有。
3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为。
如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简。
解：发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能、摩尔焓和摩尔体积的改变满足。
平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热l：
克拉珀龙方程（式（3.4.6））给出。
即。将式（2）和式（4）代入（1），即有。
如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为。
式（5）简化为
3.9 以表示在维持相与相两相平衡的条件下相物质升高1k所吸收的热量，称为相的两相平衡摩尔热容量，试证明：
如果相是蒸气，可看作理想气体，相是凝聚相，上式可简化为。
并说明为什么饱和蒸气的热容量有可能是负的。
解：根据式（1.14.4），在维持相与相两相平衡的条件下，使相物质温度升高1k所吸收的热量为。
式（2.2.8）和（2.2.4）给出。
代入式（1）可得。
将克拉珀龙方程代入，可将式（3）表为。
如果相是气相，可看作理想气体，相是凝聚相，，在式（4）中略去，且令，式（4）可简化为。
是饱和蒸气的热容量。 由式（5）可知，当时，是负的。
3.10 试证明，相变潜热随温度的变化率为。
如果相是气相，相是凝聚相，试证明上式可简化为。
解： 物质在平衡相变中由相转变为相时，相变潜热l等于两相摩尔焓之差：
相变潜热随温度的变化率为。
式（2.2.8）和（2.2.10）给出。
所以。将式中的用克拉珀龙方程（3.4.6）代入，可得。
这是相变潜热随温度变化的公式。
如果相是气相，相是凝聚相，略去和，并利用，可将式（4）简化为。
3.15 证明在曲面分界面的情形下，相变潜热仍可表为。
解：以指标和表示两相。 在曲面分界的情形下，热平衡条件仍为两相的温度相等，即。
当物质在平衡温度下从相转变到相时，根据式（1.14.4），相变潜热为。
相平衡条件是两相的化学势相等，即。
根据化学势的定义。
式（3）可表为。因此。
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