习题3-1
解由知。 因此x1和x2的联合分布必形如。
于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有x1和x2的联合分布律。
2) 注意到， 而， 所以x1和x2不独立。
解 (1) 由， 得。所以。
4) 作直线， 并记此直线下方区域与的矩形区域的交集为。 即≤.见图3-8. 因此。
图3-8 第4题积分区域。
解由，解得。因而 .
解的概率密度在区域≤≤,外取零值。因而， 有。
解 (1) 见本章第三节三(4).
习题3-2
解 (1) 由于，所以在条件x=2下y的条件分布律为。
或写成。2) 注意到。
而。因此。
解 (1) 当时，;
当x≤0时或x≥1时，.
故。当0当≤时或≥时，.
故。2) 当z≤0时，;
当z≥2时，;当0.故。
解 (1)由于三角形区域的面积等于2, 所以的概率密度为。
2)记区域≤与的交集为，则。
其中为g0的面积。
3) x的边缘概率密度。 所以，当时， .
当或时，.
因此。习题3-3
解由于x与y相互独立， 所以有。
因此可得二维随机变量的联合分布律。
解首先， 由分布律求得边缘分布律。
由于边缘分布满足， 又x, y相互独立的等价条件为。
pij= pi. (i=1,2; j=1,2,3).
故可得方程组。
解得，. 经检验， 当，时， 对于所有的i=1,2; j=1,2,3均有pij= pi. 成立。 因此当，时， x与y相互独立。
解 (1) 由。得。
(3) 由于，所以x与y相互独立。
解 (1) 由题设知x和y的概率密度分别为。
因x和y相互独立， 故(x, y)的联合概率密度为。
(2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零。 即。
≥y.因此事件≥.
下面计算≥(参见图3-3).
图3-3 第6题积分区域。习题3-4
解首先， 由题设知。 由此得。 此外，根据题意有。
即。 解得。
解随机变量z = x + y的可能取值为。
的分布律为。或写为。
解已知x和y的概率密度分别为。
由于x和y相互独立， 所以。
解由题设知， x和y的联合概率密度为。
记为u的分布函数， 参见图3-7, 则有。
当u≤0时，≤u}=0;
当u≥2时，;
当0< u<2时图3-7 第8题积分区域。
故随机变量的概率密度为。总习题三。
解首先。图3-9第1题积分区域。
当时， 当≤时， 当时，
解首先， 由于。
所以有。在此基础上利用x和y的独立性， 有。
于是。再次， 利用x和y的独立性， 有。
于是。最后， 利用x和y的独立性， 有。
因此得到下表。
解 (1)由，可得。
2) (x,y)的分布函数。
当≤或≤时，有 ;
当时，.即。
所以。类似地， 有。
显然， 故x与y相互独立。
4.解已知的分布律为。
注意到， 而，可见p≠pp. 因此与不相互独立。
2)的可能取值为3, 4, 5, 6, 且。
即的分布律为。
3)的可能取值为2, 3, 且。
即的分布律为。
4)的可能取值为1, 2, 且。
即的分布律为。
5)的可能取值为3, 4, 5, 且。
解 (1).
2) 方法一： 先求z的分布函数：
当z<0时， fz(z)<0;
当0≤z<1时，
z2-z3;
当1≤z<2时，
1- (2-z)3;
当z≥2时， fz(z) =1.
故z = x+y的概率密度为。
方法二： 利用公式。
当z≤0或z≥2时， fz(z) =0;
当0当1≤z<2时，
故z = x+y的概率密度为。
解 (1) 当x≤0或y≤0时， φx, y) =0, 所以 f(x, y) =0.
当0所以 当02时，当x>1, 0.
当x>1, y>2时，综上所述， 分布函数为。
2) 当0≤x≤1时，故。
当0≤y≤2时，故。
3) 当0≤y≤2时， x关于y = y的条件概率密度为。
当0≤x≤1时， y关于x = x的条件概率密度为。
4) 参见图3-10.
图3-10 第9题积分区域图3-11 第9题积分区域。
同理， 参见图3-11.
03 第三章作业答案
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