第四章代数结构（作业）作业：p
1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。
2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。则有：
x*y)*z = x+y+xy)*z
(x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z
x+y+z+xy+xz+yz+xyz
x*(y*z) =x*(y+z+yz)
x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz)
x+y+z+yz+xy+xz+xyz
(x*y)*z
因此，*运算满足结合律。
3）假设e为（z,*）的幺元，则有：
任选整数集中的一个元素x，都有。
0*x = 0+x+0×x=x且。
x*0 = x+0+x×0=x
故0是(z,*)的幺元。
7、n+上的所有元素都是（n+ ,等幂元；
n+ ,无幺元；
n+ ,的零元为1。
9、（a,*）中的等幂元：a、b、c、d；
a,*）中的幺元： b；
a,*）中的零元： c；
a-1 = d，b-1 = b，c-1 不存在，d-1 = a，作业：p
12、（a，*）到（n4,4）的同构映射f为：
f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3;
或者：f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1;
13、同构映射f为：
f(0)=,f(1)=,f(2)=,f(3)=;
或者：f(0)=,f(1)=,f(2)=,f(3)=;
18、任选an+,bn+, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b)
由f的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f是（n+,+到(e+,+的同态映射。
作业：p96：3，p97：7
3、(1)显然，*运算对z是封闭的。
(2) (a*b)*c = 3(a+b+2)+ab)*c
3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c
3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc
3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc
a*(b*c) =a*(3(b+c+2)+bc)
3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc)
3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc
3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc
a*b)*c
故*运算满足结合律。
（3）任选az，(-2)*a=a且a*(-2)=a，所以-2是(z,*)的幺元。
所以（z,*）是独异点。
7、因为1为(a,*)运算的幺元，而且对任意a的子集a’,*在a’上都是封闭和可结合的运算，因此，（a,*）的所有子独异点为(a’,*其中a’必须包含1。即：(a,*)的所有子独异点为：
,*p3、×＝a1,a2,所以a1×a2，b1×b2。
故（g,×）是封闭的。而。
故（g,×）是可结合的。（也可以说因为矩阵乘法是可结合的。）
令e=，a=，b=，c=
e=是幺元。
任选xg，x×x=e，故。
x-1=x。
g,×)与群(n4,4)不同构，因为(g,×)中每个元素以自身为逆元，而(n4,4)并非如此。
4、（1）封闭性。
任选a,bz,，显然，a+b-2z,故运算*满足封闭性。
2）结合律。
任选a,b,cz
a*b）*c=a+b+c-2-2=a+b+c-4
a*(b*c)=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4，故（a*b）*c= a*(b*c),即*运算满足结合律。
3）证明存在幺元。
任选az, 2*a=2+a-2=a且a*2=a+2-2=a，故2幺元。
4）证明每个元素可逆。
任选az，则4-aa；
而且a*(4-a)=2,（4－a）*a=2，故(4-a)是a的逆元。
13、任选a,bg,(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*e*a=a*a=e=(a*b)*(a*b)。
故上等式两边同时左乘a-1*b-1,故a*b=b*a。所以(g,*)是可交换群。
p3、n12＝
1的阶数为12；2的阶数为6；3的阶数为4；4的阶数为3；5的阶数为12；6的阶数为2；
显然(n12,12)是循环群，由循环群性质：一个n阶循环群若存在k阶子群，则仅有一个k阶子群，因此。
n12,12)的所有2阶子群：(,12)=(12);
n12,12)的所有3阶子群：(,12)=(12);
n12,12)的所有4阶子群：(,12)=(12);
n12,12)的所有6阶子群：,12)=(12)
12、证明；若b,cs，则。
对g中任意元素x，由于(g,*)是群，因此*运算满足结合律，即。
b*c)*a=b*(c*a)
又由条件b*a=a*b，可知：
b*(c*a)=b*(a*c)=(b*a)*c=(a*b)*c=a*(b*c)
进而，(b*c)*a=a*(b*c)；
故b*cs，故运算*对s封闭，由于c*a=a*c, 且*运算在中满足消去律，故：c-1*(c*a)*c-1=c-1*(a*c)*c-1;
根据结合律，可知： (c-1*c)*(a*c-1)=(c-1*a)*(c*c-1);
即a*c-1=c-1*a。故c-1∈s。
即s中每个元素都有逆元。
故(s,*)是(g,*)的子群。
14、证明：设e为(g,*)的幺元。
任选a,ba，则e=a*a-1
故ea，即(a,*)中有幺元e。
而e*b-1=b-1a,故a中每个元素都有逆元。
进而，a*(b-1)-1=a*ba，故运算*对a封闭。
故(a,*)是(g,*)的子群。
p118：作业
6、(n7－,7)同构于(n6, 6)。
3为(n7－,7)的生成元。
小于6的自然数中，只有5与6互质，故35=5也是(n7－,7)的生成元。
即(n7－,7)的所有生成元为：3和5。
7、显然，1的阶数为7，故1为（n7, 7）的生成元。
小于7的自然数中，共有1，2，3，4，5，6这七个数与7互质，因此。
11=1，12=2，13=3，14=4，15＝5，16＝6是（n7, 7）的所有生成元。
p125：作业
本题等价于求4次对称群中所有阶数为2的元素。
设s3＝令 （注意：定义ai的时，ai的前三列与fi的三列完全相同）
令a=如下定义双射函数g：a－>s3；
g(fi)=ai；i=1,2,3,4,5,6
可以验证 fi*fjs3，都有：g(fi*fj)=g(fi)*g(fj)，其中*为置换的复合运算。（注意：
因为ai的前三列与fi的三列完全相同，这样定义就可以保证g(fi*fj)=g(fi)*g(fj)一定成立）
故(a,*)为与(s3,*)同构的4次置换群。
离散数学 代数结构作业部分答案
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离散数学作业答案
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