离散数学代数结构作业部分答案

发布 2022-07-10 10:04:28 阅读 7985

第四章代数结构(作业)作业:p

1)若a和b是整数,则a+b+ab也是整数,故a*b也是整数,所以运算*是封闭的。

2)任选整数集合中的三个元素x,y和z。则有:

x*y)*z = x+y+xy)*z

(x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z

x+y+z+xy+xz+yz+xyz

x*(y*z) =x*(y+z+yz)

x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz)

x+y+z+yz+xy+xz+xyz

(x*y)*z

因此,*运算满足结合律。

3)假设e为(z,*)的幺元,则有:

任选整数集中的一个元素x,都有。

0*x = 0+x+0×x=x且。

x*0 = x+0+x×0=x

故0是(z,*)的幺元。

7、n+上的所有元素都是(n+ ,等幂元;

n+ ,无幺元;

n+ ,的零元为1。

9、(a,*)中的等幂元:a、b、c、d;

a,*)中的幺元: b;

a,*)中的零元: c;

a-1 = d,b-1 = b,c-1 不存在,d-1 = a,作业:p

12、(a,*)到(n4,4)的同构映射f为:

f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3;

或者:f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1;

13、同构映射f为:

f(0)=,f(1)=,f(2)=,f(3)=;

或者:f(0)=,f(1)=,f(2)=,f(3)=;

18、任选an+,bn+, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b)

由f的定义可知:f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b),故f是(n+,+到(e+,+的同态映射。

作业:p96:3,p97:7

3、(1)显然,*运算对z是封闭的。

(2) (a*b)*c = 3(a+b+2)+ab)*c

3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c

3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc

3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc

a*(b*c) =a*(3(b+c+2)+bc)

3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc)

3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc

3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc

a*b)*c

故*运算满足结合律。

(3)任选az,(-2)*a=a且a*(-2)=a,所以-2是(z,*)的幺元。

所以(z,*)是独异点。

7、因为1为(a,*)运算的幺元,而且对任意a的子集a’,*在a’上都是封闭和可结合的运算,因此,(a,*)的所有子独异点为(a’,*其中a’必须包含1。即:(a,*)的所有子独异点为:

,*p3、×=a1,a2,所以a1×a2,b1×b2。

故(g,×)是封闭的。而。

故(g,×)是可结合的。(也可以说因为矩阵乘法是可结合的。)

令e=,a=,b=,c=

e=是幺元。

任选xg,x×x=e,故。

x-1=x。

g,×)与群(n4,4)不同构,因为(g,×)中每个元素以自身为逆元,而(n4,4)并非如此。

4、(1)封闭性。

任选a,bz,,显然,a+b-2z,故运算*满足封闭性。

2)结合律。

任选a,b,cz

a*b)*c=a+b+c-2-2=a+b+c-4

a*(b*c)=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4,故(a*b)*c= a*(b*c),即*运算满足结合律。

3)证明存在幺元。

任选az, 2*a=2+a-2=a且a*2=a+2-2=a,故2幺元。

4)证明每个元素可逆。

任选az,则4-aa;

而且a*(4-a)=2,(4-a)*a=2,故(4-a)是a的逆元。

13、任选a,bg,(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*e*a=a*a=e=(a*b)*(a*b)。

故上等式两边同时左乘a-1*b-1,故a*b=b*a。所以(g,*)是可交换群。

p3、n12=

1的阶数为12;2的阶数为6;3的阶数为4;4的阶数为3;5的阶数为12;6的阶数为2;

显然(n12,12)是循环群,由循环群性质:一个n阶循环群若存在k阶子群,则仅有一个k阶子群,因此。

n12,12)的所有2阶子群:(,12)=(12);

n12,12)的所有3阶子群:(,12)=(12);

n12,12)的所有4阶子群:(,12)=(12);

n12,12)的所有6阶子群:,12)=(12)

12、证明;若b,cs,则。

对g中任意元素x,由于(g,*)是群,因此*运算满足结合律,即。

b*c)*a=b*(c*a)

又由条件b*a=a*b,可知:

b*(c*a)=b*(a*c)=(b*a)*c=(a*b)*c=a*(b*c)

进而,(b*c)*a=a*(b*c);

故b*cs,故运算*对s封闭,由于c*a=a*c, 且*运算在中满足消去律,故:c-1*(c*a)*c-1=c-1*(a*c)*c-1;

根据结合律,可知: (c-1*c)*(a*c-1)=(c-1*a)*(c*c-1);

即a*c-1=c-1*a。故c-1∈s。

即s中每个元素都有逆元。

故(s,*)是(g,*)的子群。

14、证明:设e为(g,*)的幺元。

任选a,ba,则e=a*a-1

故ea,即(a,*)中有幺元e。

而e*b-1=b-1a,故a中每个元素都有逆元。

进而,a*(b-1)-1=a*ba,故运算*对a封闭。

故(a,*)是(g,*)的子群。

p118:作业

6、(n7-,7)同构于(n6, 6)。

3为(n7-,7)的生成元。

小于6的自然数中,只有5与6互质,故35=5也是(n7-,7)的生成元。

即(n7-,7)的所有生成元为:3和5。

7、显然,1的阶数为7,故1为(n7, 7)的生成元。

小于7的自然数中,共有1,2,3,4,5,6这七个数与7互质,因此。

11=1,12=2,13=3,14=4,15=5,16=6是(n7, 7)的所有生成元。

p125:作业

本题等价于求4次对称群中所有阶数为2的元素。

设s3=令 (注意:定义ai的时,ai的前三列与fi的三列完全相同)

令a=如下定义双射函数g:a->s3;

g(fi)=ai;i=1,2,3,4,5,6

可以验证 fi*fjs3,都有:g(fi*fj)=g(fi)*g(fj),其中*为置换的复合运算。(注意:

因为ai的前三列与fi的三列完全相同,这样定义就可以保证g(fi*fj)=g(fi)*g(fj)一定成立)

故(a,*)为与(s3,*)同构的4次置换群。

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