1、如图，矩形oabc摆放在平面直角坐标系xoy中，点a在x轴上，点c在y轴上，oa=3，oc=2，p是bc边上一点且不与b重合，连结ap，过点p作∠cpd=∠apb，交x轴于点d，交y轴于点e，过点e作ef//ap交x轴于点f．
1）若△apd为等腰直角三角形，求点p的坐标；
2）若以a，p，e，f为顶点的四边形是平行四边形，求直线pe的解析式．
解：1）∵△apd为等腰直角三角形， ，
又∵ 四边形abcd是矩形，oa∥bc ，，ab=oc，．
ab=bp1分。
又∵oa=3，oc=2，bp=2，cp=1，
2分。2）∵四边形apfe是平行四边形，pd=de，oa∥bc ，∵cpd=∠1，∠cpd=∠4，∠1=∠3，∠3=∠4，∴pd=pa，过p作pm⊥x轴于m，∴dm=ma，又 ∵∠pdm=∠edo，△pdm≌△edo3分。
∴od=dm =ma=1，eo=pm =2，5分（每个点坐标各1分）
pe的解析式为．……6分。
2、已知：四边形abcd是正方形，点e在cd边上，点f在ad边上，且af＝de．
1）如图1，判断ae与bf有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
2）如图2，对角线ac与bd交于点o． bd，ac分别与ae，bf交于点g，点h．
求证：og＝oh；
连接op，若ap＝4，op＝，求ab的长．
3、如图，现有一张边长为4的正方形纸片abcd，点p为ad边上的一点（不与点a、点d重合），将正方形纸片折叠，使点b落在p处，点c落在g处，pg交dc于h，折痕为ef，联结bp、bh。
1）求证：∠apb＝∠bph；
2）求证：ap＋hc＝ph；
3）当ap＝1时，求ph的长。
1）证明：∵pe＝be，∠epb＝∠ebp，又∵∠eph＝∠ebc＝90°，∠eph－∠epb＝∠ebc－∠ebp。
即∠bph＝∠pbc。
又∵四边形abcd为正方形。
ad∥bc，∠apb＝∠pbc。
∠apb＝∠bph。（2分）
2）证明：过b作bq⊥ph，垂足为q，由（1）知，∠apb＝∠bph，又∵∠a＝∠bqp＝90°，bp＝bp，△abp△qbp，ap＝qp，ba＝bq。
又∵ab＝bc，bc＝bq。
又∵∠c＝∠bqh＝90°，bh＝bh，△bch△bqh，ch＝qh，ap＋hc＝ph。（4分）
3）由（2）知，ap＝pq＝1，∴pd＝3。
设qh＝hc＝，则dh＝。
在rt△pdh中，即，解得，∴ph＝3.4（6分）
4、在△abc中，d为bc中点，be、cf与射线ae分别相交于点e、f（射线ae不经过点d）.
1）如图①，当be∥cf时，连接ed并延长交cf于点h. 求证：四边形bech是平行四边形；
2）如图②，当be⊥ae于点e，cf⊥ae于点f时，分别取ab、ac的中点m、n，连接me、md、nf、nd. 求证：∠emd=∠fnd.
图图②证明：（1）∵d为bc中点，bd＝cd.
be∥cf，∠1＝∠2.
又∵∠3＝∠4，△bde≌△cdh1分。
ed=hd2分。
四边形bech是平行四边形3分。
2）连接fd、ed，延长ed交cf于点h，be⊥ae，cf⊥ae，be∥cf.
根据（1）可知ed=hd.
又∵cf⊥ae，ed＝fd4分。
rt△aeb中，m是斜边ab中点，.
△abc中，d、n分别是bc、ac中点，.
5分。同理6分。
△med≌△ndf.
∠emd=∠fnd7分。
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