圆的综合练习。
1、如图，△abc内接于半圆，ab为直径，过点a 作直线mn，若∠mac＝∠abc。
1） 求证：mn是半圆的切线。
2） 设d是弧ac的中点，连结bd交ac于g，过d作de⊥ab于e，交ac于f，求证：fd＝fg。
3） 若△dfg的面积为4.5,且dg＝3,gc＝4,试求△bcg的面积。
2、如图已知直线l：，它与x轴、y轴的交点分别为a、b两点。
1）求点a、点b的坐标。
2）设f为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙p，使⊙p经过点b且与x轴相切于点f（不写作法，保留作图痕迹）。
3）设（2）中所作的⊙p的圆心坐标为p（x，y），求y关于x的函数关系式。
4）是否存在这样的⊙p，既与x轴相切又与直线l相切。
于点b，若存在，求出圆心p的坐标，若不存在，请说明。
理由。3、如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
1）求证：是的切线；
2）求证：；
3）点是的中点，交于点，若，求的值．
解：（1），又，又是的直径，即，而是的半径，是的切线． （3分）
2），又， （6分）
3）连接，点是的中点，而，，而，又是的直径，． 10分）
4、如图所示，ab是直径，弦于点，且交于点，若．
1）判断直线和的位置关系，并给出证明；
2）当时，求的长．
解：（1）直线和相切．
证明：∵，2分，． 3分。
即． 4分。
直线和相切． 5分。
2）连接．ab是直径，． 6分。
在中，．直径，∴．7分。
由（1），和相切，∴．8分。
由（1）得，． 9分。
．∴，解得． 10分。
5、在中，，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点．
1）求证：；
2）若，求的面积．
解：（1）证明：连结．
切于，又即， 2分。
又，． 4分。
2）设半径为，由得．
即，，解之得（舍）． 7分。
8分。6、如图所示，在梯形abcd中，ad//bc，ab⊥bc，以ab为直径的⊙o与dc相切于e．已知。
ab=8，边bc比ad大6, (1)求边ad、bc的长；（2）在直径ab上是否存在一动点p，使以a、
d、p为顶点的三角形与△bcp相似？若存在，求出ap的长；若不存在，请说明理由。
解：（1）方法1：过d作df⊥bc于f
在rt△dfc中，df=ab=8，fc=bc－ad=6
dc2=62+82=100，即dc=10 ……1分。
设ad=c，则de=ad=x，ec=bc=x+6
x+(x+6)=10 ∴x=2
ad=2，bc=2+6=84分。
方法2：连od、oe、oc，由切线长定理可知∠doc＝90°，ad=de，cb=ce
设ad=x，则bc=x+6
由射影定理可得：oe2=de·ec2分。
即：x(x+6)=16 解得x1=2, x2=－8（舍去）
ad=2， bc=2+6=84分。
2）存在符合条件的p点。
设ap=y，则bp=8－y，△adp与△bcp相似，有两种情况：
△adp∽△bcp时， ∴y= …6分。
△adp∽△bpc时， ∴y=4 ……7分。
故存在符合条件的点p，此时ap=或48分。
7、已知：如图，直径为的与轴交于点点把分为三等份，连接并延长交轴于点 （1）求证：；（6分）
2）若直线：把的面积分为二等份，求证：（4分）
证明：（1）连接，∵把三等分，∴，1 分。
又∵，∴2 分
又∵oa为直径3 分 ， 4 分
在和中， 5 分
（asa） 6 分
2）若直线把的面积分为二等份，
则直线必过圆心， 7 分 ，，8 分
把代入得： 10 分。
8、如图 11，矩形中，．点是上的动点，以为直径的与交于点，过点作于点．
1）当是的中点时：
的值为。 证明：是的切线；
2）试**：能否与相切？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由．
解：（1）① 2分
法一：在矩形中，又， ，3分
得， 连，则， ∴4 分
是的切线6分
法二：提示：连，证四边形是平行四边形．参照法一给分．）
2）法一：若能与相切， ∵是的直径， ，则，
又， ∴设，则，得，整理得． 8 分
该方程无实数根．
点不存在，不能与相切10分。
法二： 若能与相切，因是的直径，则，
设，则，由勾股定理得：，
即， 整理得， 8分 ， 该方程无实数根．
点不存在，不能与相切10分。
法三：本题可以通过判断以为直径的圆与是否有交点来求解，参照前一解法给分）
9、问题：（1）如图1，圆内接△abc中，ab=bc=ca，od、oe为⊙o的半径，od⊥bc于点f，oe⊥ac于点g，求证：阴影部分四边形ofcg的面积是△abc的面积的。
2）如图2，若∠doe保持120°角度不变，求证：当∠doe绕着o点旋转时，由两条半径和△abc的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△abc的面积的。
解：（１证明：过点o作oh⊥ab于点h.
等边△abc是⊙o的内接三角形，od⊥bc ，oh⊥ab，oe⊥ac
∴∠b=∠c=60°，∠bho=∠bfo=∠cfo=∠cgo=90°， bh=bf=cf=cg，oh=of=og
foh=∠fog=180°-60°=120°，∴四边形ｂｄｏ四边形ｃｆｏ
同理：四边形ｂｄｏ四边形ａｈｏ
四边形ｂｄｏ四边形ｃｆｏ四边形ａｈｏ又∵∴．
（２）证明：过圆心ｏ分别作垂足为ｍ、ｎ
则有∠omf=∠ong=90°，om=on，∠mon=∠fog=120° ∴mon-∠fon=∠fog-∠fon，即∠mof=∠nog
△mof≌△nog，∴ 若∠doe保持120°角度不变，当∠doe绕着o点旋转时，由两条半径和△abc的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△abc的面积的。
10、如图13-1至图13-5，⊙o均作无滑动滚动，⊙o1、⊙o2、⊙o3、⊙o4均表示⊙o与线段ab或bc相切于端点时刻的位置，⊙o的周长为c．
阅读理解：1）如图13-1，⊙o从⊙o1的位置出发，沿ab滚动到⊙o2的位置，当ab=c时，⊙o恰好自转1周．
2）如图13-2，∠abc相邻的补角是n°，⊙o在∠abc外部沿a-b-c滚动，在点b处，必须由⊙o1的位置旋转到⊙o2的位置，⊙o绕点b旋转的角∠o1bo2 = n°，⊙o在点b处自转周（360分之n）．实践应用：
1）在阅读理解的（1）中，若ab=2c，则⊙o自转周；若ab=l，则⊙o自转周．在阅读理解的（2）中，若∠abc= 120°，则⊙o在点b处自转周；若∠abc= 60°，则⊙o在点b处自转周．
2）如图13-3，∠abc=90°，ab=bc=c．⊙o从⊙o1的位置出发，在∠abc外部沿a-b-c滚动到⊙o4的位置，⊙o自转周．
拓展联想：1）如图13-4，△abc的周长为l，⊙o从与ab相切于点d的位置出发，在△abc外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与ab相切于点d的位置，⊙o自转了多少周？请说明理由．
2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙o从与某边相切于点d的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点d的位置，直接写出⊙o自转的周数．
解：实践应用（1）2；．；2）．
拓展联想（1）∵△abc的周长为l，∴⊙o在三边上自转了周．
又∵三角形的外角和是360°，在三个顶点处，⊙o自转了（周）．
⊙o共自转了（+1）周．
11、如图10，在⊙o中，ab为⊙o的直径，ac是弦，，．
1）求∠aoc的度数；
2）在图10中，p为直径ba延长线上的一点，当cp与⊙o相切时，求po的长；
3） 如图11，一动点m从a点出发，在⊙o上按逆时针方向运动，当时，求动点m所经过的弧长．
解：（1）∵ 在△aco中，，ocoa
△aco是等边三角形 ∴ aoc60° （3分）
2）∵ cp与⊙o相切，oc是半径． ∴cp⊥oc
∠p90°-∠aoc30po2co8 （6分）
3）如图11，（每找出一点并求出弧长得1分）
作点关于直径的对称点，连结，om1 ．易得，
当点运动到时，此时点经过的弧长为．
过点作∥交⊙o于点，连结，，易得．
或 当点运动到时，，此时点经过的弧长为 ．
过点作∥交⊙o于点，连结，，易得。
或 当点运动到时，，此时点经过的弧长为 ．
当点运动到时，m与c重合，此时点经过的弧长为或 ．
12、如图11，ab是⊙o的直径，弦bc=2cm，∠abc=60．
1）求⊙o的直径；
2）若d是ab延长线上一点，连结cd，当bd长为多少时，cd与⊙o相切；
3）若动点e以2cm/s的速度从a点出发沿着ab方向运动，同时动点f以1cm/s的速度从b点出发沿bc方向运动，设运动时间为，连结ef，当为何值时，△bef为直角三角形．
圆的综合练习 给学生答案版
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