第十二章函数项级数。
12.1 函数序列的一致收敛概念。
1.讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性：
12），解 （1），要使。
只须，取，则当时，对一切，有，因此在一致收敛于．
2），）由于。
知只要，故，当时，有，因此在一致收敛于．
），，但。所以在不一致收敛到．
3），，但。
所以在不一致收敛到．
），要使。只须，取，则当时，有，对一致地成立，故在一致收敛于．
），，但。所以在不一致收敛于．
），要使。只须，取，则当时，有，对一致地成立，故在一致收敛于．
），，而。即在不一致收敛于．
由于。取，则当时，有对一致地成立，所以，在一致收敛于函数．
），由。取，则当时，有对一致地成立，故在一致收敛于．
），，但。所以在不一致收敛于。
），由。取，则当时，，所以在一致收敛于．
8） 显然，，．但。
所以，在不一致收敛于．
9）显然，，．
由于，令， ，且时，，当时，，故在达到上的最大值，于是， 有
取，则当时，对上一切一致地成立，故在一致收敛于．
当时，由于，故，使当时，有，故取，则当时，有，从而，对一致地成立，故在一致收敛于．
11）当时，当时，当时，由于，而，故得．
所以在的极限函数为
且，由于，取，则当时，对一致地成立．所以在一致收敛于．
12）显然．
），由于当时，当后，由于，故当时，有， 要使，只须，取，则当时，有对一致地成立，故在上一致收敛于．
），取，，但，所以， 在不一致收敛于．
2．设在上有界，并且在上一致收敛，求证：在上一致有界．
证明由于在上有界，故，使得，有，又在上一致收敛，设极限函数为，则对，，当时，有，显然，由此推出。
从而对一切成立．
取，则，，有。
即在上一致有界．
3. 设定义于，令。
求证：在一致收敛于．
证明由于，所以，因此，．，由于，故，有对中一切成立，故在一致收敛于．
4. 设在内有连续的导数，且。
求证：在闭区间上，一致收敛于．
证明 ．由于在连续，故在连续，因而一致连续，故，，当时，．而，故只要，即，就有，取，则当时，就有对一致地成立，故一致收敛于．
5．设在上riemann可积，定义函数列。
求证：在一致收敛于0．
证明由于在上riemann可积，故必有界，即，有．所以，如此，用数学归纳法，易证。
故，有。所以，．即，．
同样，，由，故，，当时，有，所以在一致收敛于0．
6. 问参数取什么值时，在闭区间收敛？在闭区间一致收敛？使可在积分号下取极限？
解 ，当时，，当时，故不论参数取何值，在闭区间收敛于函数．因为。
所以在取最大值，即。
故当时，因为，所以在一致收敛于．
当时，，，但。
故在不一致收敛．
由于。所以，当时，，时，，时，，而，因此当时，可在积分号下取极限．
7．证明序列在闭区间上收敛，但。
证明当时，，当时，，所以，，．故，而。
所以，8. 设在一致连续，且在一致收敛于．求证：在上一致连续．
证明由于在一致收敛于，故，，当时，成立．
又由在一致连续，故对上述，，，只要，就有。
从而，只要，就有。
所以在上一致连续．
9．设是上的连续函数序列，且一致收敛于；又，满足，求证．
证明由已知是上的连续函数，因而，，当且时，就有。
又，，故对上述，，当时，有，因而当时，而在上一致收敛于，故对上述，，当时，对一致地成立．
取，则当时，同时成立。
，所以，当时，因此．
10.设是在内一致收敛于，且。
证明：和存在且相等，即。
证明由于是在内一致收敛于，故由函数列cauchy收敛准则，，，当时，有。
对一致地成立．注意到， 在上式中令左右取极限，就有，由数列的cauchy 收敛准则，知存在，设极限值为，故，，当时，有．
又是在内一致收敛于，故对上述，，当时，对一致地有．
取，则以下两式同时成立。
，又，故，当且时，有。
故当且时，有。
所以，即．11. 设在riemann 可积，且在一致收敛于，证明：在riemann可积．
证明由于在一致收敛于，故，，当时，有。
对一致地成立，所以，对一致地成立，因而。
对一致地成立．
由于在riemann可积，故对上述，对一切分划，当分划的小区间的最大长度时，就有。
其中．若设，而，，则，所以，（）
故当时，有。
在riemann可积．
12.2 函数项级数的一致收敛性及其判别法。
1．求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的）：
解（1）由于时，而当时收敛，故在时绝对收敛；
当时，而当时收敛，故在时绝对收敛；
时，级数的一般项分别为和，故发散．所以，函数项级数的绝对收敛区域为．
2）解不等式，得或，因而当或时，级数的一般项当时不趋向于零，故这时级数发散；而当或时，由于绝对收敛，单调上升且有界，由abel判别法知收敛，即绝对收敛．所以绝对收敛域为．
3）由，得或，因而当或时，，且，故级数发散；
当时，级数为条件收敛；
当时，由于，因而级数绝对收敛，而单调递减有界，由abel判别法，这时级数绝对收敛；
所以级数绝对收敛域，条件收敛域，收敛域．
4）当时，由于，由于级数对一切收敛，故对一切收敛，而当时，级数为发散．
当时，由于，而级数对一切发散，因而对一切发散．
综上，当时，收敛域也是绝对收敛域为，当时，收敛域为．
2．按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性：
解（1）（．但。
所以在不一致收敛．
由于，则。求得的稳定点，，可判定为极小值点，又，故为最小值，而为极大值点，也是最大值点，最大值为。
（当时）所以，），故，，时，对一致地成立，因而在一致收敛于，因此函数项级数在一致收敛于和函数．
3．讨论下列函数项级数的一致收敛性：
解（１）因为对一切成立，而收敛，由m判别法知级数在一致收敛．
２）由于对一切成立，而收敛，故级数在一致收敛．
３）因为对一切成立，故在一致收敛．
４）由于对一切成立，而级数收敛，因而在一致收敛．
５）由对一致地成立，所以在一致的收敛．
６）由对于一致地成立， 且由于，所以级数收敛，因而在一致收敛．
７）当时，，所以，故时，，该式对显然也成立，故由收敛，用m判别法，知级数在一致收敛．
８）设，则，求得稳定点，且在取极大值．又，，所以在上最大值为（补充定义．因而，．
所以，而级数由d′alembert判别法知其收敛，故由m判别法，级数在一致收敛．
９）因为，而收敛，故原级数在一致收敛．
10），而，故收敛，因而在一致收敛．
11) 由于。
对一致地成立，故，当时，，从而当时，而收敛，因而在一致收敛．
4．讨论下列函数项级数的一致收敛性：
解（1）由于级数的部分和序列。
有界，因而在一致有界，对每一固定的，数列是单调下降的，且当时，函数序列一致趋向于0，因而有dirichlet判别法，知在一致收敛．
2）由于级数的部分和序列。
有界2，因而在一致有界，对每个固定的，数列单调递减且当时，函数序列一致趋向于0，由dirichlet判别法，知在一致收敛．
3）级数的部分和序列有界1，因而在一致有界，而序列对每个单调递减且一致趋向于0，故在一致收敛．
4）取，，则显然，而对每个单调递减，且对所有，有，因此在一致趋向于0，据dirichlet判别法，知在一致收敛．
5），而级数收敛，故在绝对收敛，从而收敛．但由于，，，而。
因而级数的一般项在不一致趋于0，因而在不一致收敛．
6）取，．则显然。
对每一个单调递减，且。
因此数列在一致趋于0，因此，函数项级数在一致收敛．
7）取，，则，有，而单调下降且趋于0，因此在一致趋于零，所以在一致收敛．
8）取，，则单调下降且在一致趋于零，显然，有。
由dirichlet判别法，级数在一致收敛．
5．证明级数关于在上为一致收敛，但对任何并非绝对收敛；而级敛虽在上绝对收敛，但并不一致收敛．
证明取，，则，，而对每个单调递减，且由于，故在一致趋于0，由dirichlet判断法，级数关于在一致收敛．但，，当时，有，所以，当时，有。
而发散，因此发散，即对任何并非绝对收敛．
而对级数，若，则显然收敛；若，则由于，所以级数对一切绝对收敛．而由于。
所以，由，故，当时，有．，，但。
因此在不一致收敛．
6．设每一项都是上的单调函数，如果在的端点为绝对收敛，那么这级数在上一致收敛．
证明由于都是上的单调函数，不妨设为单调增函数，则，有，因此，有，由于在的端点为绝对收敛，因此级数收敛，由判别法，知级数在一致收敛．
7．若的一般项，，并且在上一致收敛，证明在上也一致收敛且绝对收敛．
证明由于在上一致收敛，由原理，，存在与无关的，只要，，，都有，因此当时，，，都有，同样由原理，知级数在上一致收敛；又由于， ，而收敛，因而绝对收敛．
12.3 和函数的分析性质。
1. 研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性：
解（1），有，取，则级数在一致收敛于和函数，而每一项函数在连续，由和函数的连续性知在连续，因而在连续，由的任意性知级数所表示的函数在连续．
2），取，使，则在，取，，则，有，而单调递减趋于0，因而在，一致收敛于其和函数，又级数的每一项函数在连续，因而在连续，特别地在连续，由的任意性知级数所表示的函数在上连续．
3）由于，成立， 收敛，故由判别法知在区间一致收敛，而级数的每一项在连续，因而所表示的函数在连续．
12章答案
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