第十二章。
3（a、b、c、d）
某垄断者能够以常数平均（和边际）成本ac=mc=5美元生产。该厂商面临的市场需求曲线是q=53-p。
a、 计算这个垄断者的利润最大化**和产量，并算出它的利润。
解：利润π=r-c
利润最大化条件为。
已知q=53-p，p=53-q，则总收益r=pq=（53-q）q=53q-q2，边际收益mr=dr/dq=53-2q=mc=5
q=24，p=53-q=53-24=29美元。
总利润π=r-c=pq-ac*q=（p-ac）*q=（29-5）*24=576美元。
b、 假设第二个厂商加入该市场。q1为第一个厂商的产量，q2为第二个厂商的产量。市场需求现在由q1+q2=53-p=q给出。
设第二个厂商与第一个厂商有相同的成本，将各厂商的利润写成q1和q2的函数。
解：已知mc2=ac2=5美元，mc1=ac1=5美元，q1+q2=53-p=q
则厂商1的利润π1=r1-c1=p*q1-ac1*q1=（53-q）*q1-5*q1=（53-5-q1-q2）*q1=48q1-q12-q1q2
厂商1的利润π2=r2-c2=p*q2-ac2*q2=（53-q）*q2-5*q2=（53-5-q1-q2）*q2=48q2-q22-q1q2
c、 假设（如在古诺模型中一样）各厂商在假定它的竞争者的产量固定时选择其利润最大化产量水平。求出各厂商的“反应曲线”（即根据它的竞争者的产量求出它所需要的产量规则）。
解：求反应曲线，即用q2表示q1，或用q1表示q2，q=q1+q2
对于第一个厂商来说，为了准确利润π的最大化，必须使mr1=mc1=5美元，又由于第一个厂商的收益r1=均衡**p*q1=（53-q）*q1=（53-q1-q2）*q1=53q1-q12-q1q2
则mr1=dr1/dq1=53-2q1-q2=mc1=5
q1=（48-q2）/2=24-0.5q2
用相同的方法可以求出厂商2的反应曲线q2=24-0.5q1
d、 计算古诺均衡（即给定竞争者的产量，两厂商都是选了自己所能选的最好的q1和q2的值）。求出的市场**和各厂商的利润是多少？
根据古诺均衡的求解方式可知，两厂商在成本一致，反应曲线相似的前提条件下均分市场利益。此时根据两位厂商的反应曲线进行联立：
q1=24-0.5q2
q2=24-0.5q1
解得q1=q2=16，则p=53-q=53-q1-q2=53-32=21美元。
则厂商1获得的利润π1=r1-c1=48q1-q12-q1q2=256美元。
厂商2获得的利润π2=r2-c2=48q2-q22-q1q2=256美元。
4、继续第三题，回到两个具有相同常数平均成本和边际成本ac=mc=5的厂商，面临的市场需求曲线还是q1+q2=53-p。现在我们要利用斯塔克博格模型来分析如果两厂商之一在另一厂商之前先作产量决策将会发生什么情况。
a、设厂商1是斯塔克博格领袖（即在厂商2之前作它的产量决策）。找出反应曲线，使得各厂商能够根据它的竞争者的产量，求出它自己应该生产多少。
解：根据斯塔克博格模型原理，先进入的厂商1根据厂商2可能的反应曲线进行自身利润最大化决策，即将厂商2的反应曲线先代入自身收益函数再求解利润最大化条件。从第3大题已知此时已知厂商2的反应曲线为：
q2=24-0.5q1。
厂商1据此分析自身的收益r1=pq1=（53-q）*q1=（53-q1-q2）*q1=53q1-q12-q1q2
将q2=24-0.5q1代入r1得：
r1=53q1-q12-q1*（24-0.5q1）
53q1-q12-24q1+0.5q12
29q1-0.5q12
根据利润最大化均衡条件mr1=mc1=5美元。
mr1=dr1/dq1=29-q1=5→q1=24
则厂商2的产量q2=24-0.5q1=12
b、各厂商将生产多少，以及利润为多少？
解：已知厂商1生产q1=24单位，厂商2生产q2=12单位。
此时均衡**p=53-q=53-q1-q2=17美元。
厂商1的利润π1=r1-c1=p*q1-ac1*q1=（17-5）*24=288美元。
厂商2的利润π2=r2-c2=p*q2-ac2*q2=（17-5）*12=144美元。
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