第2章鸽巢原理。
2.4 练习题。
1、关于本节中的应用4，证明对于每一个1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完局棋（情形21是在应用4中处理的情况）。能否判断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？
证明：设表示在前天下棋的总数。
若正好有=,则命题得证。若不然，如下：
共有11周，每天至少一盘棋，每周下棋不能超过12盘。
有，且。有。
观察以下154个整数：
每一个数是1到之间的整数，其中。
由鸽巢原理，这154个数中至少存在两个相等的数。
都不相等，都不相等，使=
即这位国际象棋大师在第，，…天总共下了盘棋。
综上所述，对于每一个1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完局棋。
当=22时，132+=154，那么以下154个整数。
在1到154之间。
）若这154个数都不相同。
则它们能取到1到154的所有整数，必然有一个数是22，
等于22的数必然是某个，
则在前天，这位国际象棋大师总共下了22盘棋。
）若这154个数中存在相同的两个数。
都不相等，都不相等，使=
即这位国际象棋大师在第，，…天总共下了盘棋。
综上所述，存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋。
5、证明，如果从中选择个整数，那么总存在两个整数，它们之间最多差2。
证明：把按顺序三个数字分为一组，共有组，它们是，…，
由鸽巢原理，从组整数中，选择个整数，至少有两个整数属于同一组。
且根据以上分组方式，这两个数之间最多相差2
即总存在两个整数，它们之间最多差2。
7、证明，对任意给定的52个整数，存在其中的两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。
证明：任何一个整数的后两位，都是00，01，02，03，…,99之一。
现在对所有整数按照后两位数的不同分组如下：，…共有51个组。
由鸽巢原理，对于任意给定的52个整数，至少存在两个整数属于同一组。
属于同一组的两个数，要么后两位数相同，要么后两位数相加等于100
若这两个数后两位相同，那么这两者的差能被100整除；若这两个数后两位相加等于100，那么两者的和能被100整除。
11、一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1个小时。
证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。
证明：设表示在前天学习的小时数。
有37天准备考试，每天至少学习1小时，总学习时间不超过60小时。
有，且。我们还有：
观察以下74个整数：
每一个数是1到73之间的整数。
由鸽巢原理，这74个数中至少存在两个相等的数。
都不相等，都不相等，使=
即这个学生在第，，…天恰好总共学习了13个小时。
14、一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。如果我每分钟从袋子里取出1种水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？
答：45分钟。
下面证明此结论：
最坏的情况是，拿了若干次之后，还是不能拿到1打相同的水果。但是这个次数的极限是每种水果拿了11个，也就是总共拿了44次。因为若拿到第45次时，必定有一种水果拿到了12个（1打）。
也就是说拿45次，肯定至少已拿出了1打相同种类的水果。
15、证明，对任意个整数，，…存在两个整数和，，使得－能够被整除。
证明：任何一个整数被除的余数是以下个数之一。
由鸽巢原理，对于任意个整数，，…它们除以的余数至少有两个相同。
不妨设这两个数为和（），能够被整除。
）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离之多为1/2。
证明：把边长为1的等边三角形按照右图方式分割为4部分。
每一部分都是边长为1/2的等边三角形。
在同一个小三角形中相距最远的2个点距离为1/2
由鸽巢原理，任意选择5个点，至少有2个点属于同一个小三角形。
即：在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离之多为1/2。
）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离之多为1/3。
证明：把边长为1的等边三角形按照右图方式分割为9部分。
每一部分都是边长为1/3的等边三角形。
在同一个小三角形中相距最远的2个点距离为1/3
由鸽巢原理，任意选择10个点，至少有2个点属于同一个小三角形。
即：在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离之多为1/2。
）确定一个整数，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择个点，则存在2个点，其间距离之多为1/。
证明：由等边三角形分割成小等边三角形的变化规律：
可知：边长为1的等边三角形，可以分割为个边长为1/的等边三角形。
边长为1/的等边三角形内部，相距最远的2个点距离为1/
由鸽巢原理，任意选择个点，至少有2个点属于同一个小三角形。
即：在边长为1的等边三角形内任意选择个点，存在2个点，其间距离之多为1/。
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