二次根式。
二次根式是一种重要的代数式，是初中代数重要的内容，也是中考命题的热点之一，与整式和分式相比，概念和运算都比较复杂，难度也有所增加，学习这部分内容首先要正确认识和掌握二次根式的概念、性质与运算，下面我们就一块分析一下：
知识点1：二次根式的概念及条件。
二次根式：式子（a≥0）叫做二次根式。
例1：要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
abcd．思路点拨：此题二次根式中被开方数的取值范围。 二次根式中，被开方数的取值范围是非负数，因此可列方程x≥0，解得x≥0 所以选a
例2：若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
a． bc． d．
思路点拨：此题考查函数自变量的取值范围。 二次根式中，被开方数的取值范围是非负数，因此可列方程x-2≥0，解得x≥2. 所以选a
练习：1.在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是（ ）
a．x≥0 b．x≤0 c．x＞0 d．x＜0
2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
a. b. c. d.
3.下列根式中属最简二次根式的是（ ）
a. b. c. d.
4.的相反数是（ ）
a． b． c． d．
5.已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
a．12b．11c．8d．3
知识点2：二次根式的性质。
1）（a≥0，b≥0）
2）（a≥0，b≥0）
3）()2=a（a≥0）
4）=|a|=
例1：若，则。
例2：若实数满足，则=的值为（ ）
a．1 b.－1 c. 2 d. －2
练习：1.若实数满足，则的值是。
2.已知： 。
3.若，则与3的大小关系是( )
a． 8． c． d．
4.方程，当时，m的取值范围是（ ）
知识点3：二次根式的化简。
最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
例1：已知mn﹤0,化简。
思路点拨：将m移至根号外应考虑m的符号，由知，≥0，而mn﹤0，∴m﹤0,n﹥0
原式=-例2：已知，求x的范围。
思路点拨：注意隐含条件x+4≥0，解为-4≤x≤0练习：
2. 将（a-1）根号外的因式移至根号内得。
3. 计算。
4. 已知为实数，那么等于（ ）
知识点3：二次根式的运算。
二次根式的化简时，必须化成最简二次根式；二次根式加减法的实质就是合并同类根式。
例1：计算。
例2：若，则xy的值为 (
a． b． c． d．
思路点拨：本题主要考查平方差公式。. 选d；
练习：1.计算的结果是。
2.化简5-2=__
3.下面计算正确的是（ ）
a． b． c． d．
4. 先化简，再求值：
÷，其中x=.
过关检测题。
一、选择题。
1下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
a． bcd．
2．下列式子中二次根式的个数有（ ）
a．2个b．3个c．4个d．5个。
3．当有意义时，a的取值范围是（ ）
a．a≥2b．a＞2c．a≠2d．a≠－2
4．若。a. bc. d.
5．估计的运算结果应在（ ）
a．1到2之间 b．2到3之间 c．3到4之间 d．4到5之间。
6．对于二次根式，以下说法不正确的是（ ）
a．它是一个正数 b．是一个无理数 c．是最简二次根式 d．它的最小值是3
7．若，则x－y的值为（ ）
a．－1 b．1 c．2 d．3
8．若，，则的值是（ ）
a b c d
9．（2023年长沙市）下列各式中，运算正确的是（ ）
a． b． c． d．
10．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
a． b． c． d．
二、填空题。
11.化简：
12.已知。
15．设5-的整数部分是a,小数部分是b,则a-b=
16．已知最简二次根式和的和是一个二次根式，那么b= ，和是 。
三、解答题。
17.计算：
34）计算：
18.若三角形的三边、、满足，若第三边为奇数，求的值。
19.对于题目先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式；
乙的解答为：原式．
在两人的解法中谁的解答是错误的，为什么？
20.先化简，再求值：，其中。
21. 已知＋＝0，求(x＋y)x的值．
22.已知：＝，试比较与的大小．
参***。3. b 5. c 6. b 7. c 8. d 9. d
11. 12. 13. ,7 14. 2≤x＜3 15. -1+ 16. 2， 2
18.解：∵
即 、、为三角形的三边。
即 第三边为奇数。
19.甲的回答是错误的。∵a=9,∴而不等于1-a，乙的解答是正确的。
20. 答案：原式=a2-3- a2+6a=6a -3. 当时，原式=6
21.解∵ ≥0，≥0，而 ＋＝0， 解得 ∴ x＋y)x＝(2＋1)2＝9．
22. 解：设＝2005，则。
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