第一题：
可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少？ 为什么？ 它们的形状为什么是这样的？
制造一只易拉罐不仅要求在保证满足各种物理条件，还要易于制造、美观大方易于使用(从而能吸引顾客) 、便于运输等，而且要求在这些前提下成本要最低。
全世界每年要制造几十亿只易拉罐，在我国每年要生产大量的铝制易拉罐，要进口大量的铝，花掉大量的外汇。因此，怎样节省制造易拉罐所用的铝材，对于降低成本来说是十分重要的，即使每只能节省1分钱，几十亿只总计就可以节省几千万元。而制造一个易拉罐所用的铝材和罐的表面积是成比例的。
因此，在体积一定的前提下，设计能够使其表面积最小的罐的形状就是关键了。
在工艺流程中，落料、拉伸、罐体成形、修边、缩径、旋压缩径／翻边工序需要模具加工，其中以落料、拉伸和罐体成形工序与模具最为关键，其工艺水平及模具设计制造水平的高低，直接影响易拉罐的质量和生产成本。如图所示：
两片罐制造中，冲杯、拉伸、罐体成形是最主要的步骤。
以355毫升(355)的可口可乐大致的测量数据。
实际的饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体。
给出本问题的数学模型并用mathematica求解。
提示：可以适当简化模型，（例如：把饮料罐近似看成一个正圆柱，或者看成是圆台加圆柱形罐等）。
解：对此问题建模如下：
在题中，由于对圆台的估计没有太多的数据支持，这里将问题简化为对关于正圆柱体的估计求解问题。
这样问题就变为一个简单的最优化问题：已知要做一个固定容积为v的圆柱形容器，其容器底、容器盖、容器壁所需材料厚度分别为a、b、c已知，求解其容器底面半径的最优解x使制造这样一个圆筒耗费的原料最少。
对于这样的一个问题，我们可以用v、a、b、c、x列出耗费材料体积f的函数，然后利用mathematica软件在预定的x取值区间内求出f的极小值，即为f的实际最小值。
关于问题的已知数据记录如下：容器的固定容积与现在生产的容器容积设为一致，既v=365cm^3, 容器底厚度a=3mm，容器顶盖厚度b=3.1mm，容器壁厚度c=1.
5mm，容器底面的半径x未知可变。
若再使容器高为y，数据便转化为一个方程和一个函数(使单位统一，这里使用mm作为单位)。
方程为：pi*x^2*y=v；
函数为：f=(a+b)*pi*x^2+2*pi*c*x*y.
容易看出，在舍去y之后，所有已知条件都包含在一个f关于x的函数中。该函数为：
f=(a+b)*pi*x^2+2*pi*c*x*v/(pi*x^2);
易看出此函数只与x,v,a,b,c五个量有关，而除去外其余各量已知，化简并代入a,b,c,v可得：
f[x_]:6.1*pi*x^2+3*365000/x
因此为求出其最优化解，可列程序如下求出其分布图象。
程序输入如下：
f[x_]:6.1*pi*x^2+3*365000/x
plot[f[x],]
其输出结果如图所示：
从图中可以大致看出，其极小值点分布在x=30cm处左右，从该点出发求其局部极小值。
可输入函数如下：
findminimum[f[x],]
得到结果如下：
由实验结果容易知道，当取x=30.5704cm时制造最省材料。
但同时考虑在制造过程中制造工艺的耗费，容易知道在一定范围内当x越小时，所需的制造工艺就越高，因此在实际生产的过程中，x的取值应该略大于30.5704cm，且当底径增大时，在x取值由30cm到40cm变化时，所需材料的增加并不明显。
综上可知，x的最佳取值应略大于30.5704cm，由于模型数据的不充分性，对具体数据还没有办法作出准确判定，但可初步估计应在31cm到35cm之间。
综上所述，可得出结论，实际可口可乐易拉罐生产时所取底面直径6.6cm是符合以上所得结论的，是一种最优的生产模式，最节省成本且较为美观。
第二题：谈谈你对mathematica软件的认识，对大学数学实验课程的建议。
答：对mathematica软件的认识：
mathematica是到现在为止使用最广泛的数学软件之一，在符号运算、数值计算和绘图等方面有广泛的应用，以符号演算功能为主，可以得到准确结果。
mathematica在大学数学课程的很多类别中都有广泛的应用，例如数学分析中的函数作图、极限、微分差分方程、一元及多元微积分学，高等代数中的矩阵变换、行列式、解线性代数方程组，以及概率统计中的变量分布、大数定律、中心极限定律、估计理论和假设检验等方面。总之，在大学数学的学习中，mathematica有着十分重要的应用。
对大学数学实验课程的建议：
希望在以后的教学中，能够有更多对此软件系统的阐述以及其在数学中各方面应用的整体说明，更好的调动同学们的学习热情；在教学过程中，也可以多给出实际问题让同学们解决，启发大家对数学软件的兴趣。
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