张量分析。
1张量代数。
1.1坐标系。
在三维空间中，一个笛卡尔坐标系用图表示为三个相互垂直的轴，分别记为x轴、y轴、z轴。为以后方便起见，坐标轴可更方便地表示成轴、轴、轴，而不是更熟悉的记法x轴、y轴、z轴。图1.
1所示的坐标系假定采用右手记法，轴、轴位于图纸平面内，轴垂直指向读者。
在这种记法中，坐标轴分别平行于（右手）指向观察者的中指、指向右边的大拇指和垂直向上的食指。坐标的正向为手指的指向，如果我们想像一个右手方向旋转的螺杆，由轴向轴旋转会导致螺杆沿着轴的正向前进。同样可以轮流采用标记和3来检验螺杆沿正方向前进的情况。
正因为如此，图1.1所示的坐标系为右手坐标系。不是右手坐标系的叫左手坐标系。
如用左手，则图1.1中轴正向朝下。注意任何两个具有相同原点的右手坐标系，都可以将一个坐标系转到另一个坐标系上，使之重合。
这也适用于左手坐标系，图1.1右手螺旋定则但不适用一左一右的情况。
1.2矢量代数。
矢量既有大小又有方向，这与标量不同，标量只有大小。例如，速度是矢量，温度是标量。在坐标系中矢量通常用箭头表示，箭头的方向为矢量的方向，箭头的长度与矢量的大小成比例。
图1.2中表示沿三个相互垂直轴方向的单位矢量、和。例如，单位矢量为单位长度（从原点量起）并沿轴，因而必须垂直另外两个坐标轴和。
对空间中任意一点p，坐标是、和，可以表示为矢量op或v。这个矢量v可以想像为矢量、和的组合，故有。
或根据单位矢量得。
v1.2）其中，、和为标量值。进一步简化，上式课简写为。
显然这个形式中3个标量的排序时至关重要的。可以看出矢量的标记形式上采用了p点的笛卡尔坐标表示。
图1.2右手笛卡尔坐标系中的位置与单位矢量。
通常认为，、和作为的分量，或反过来，将矢量分解成分量。矢量作用的特定点常常可以从上下文中得知，不需要特别指明，图1.2中矢量恰好作用在坐标原点。
若两个矢量和u的分量相等，则定义他们相等，相等的条件为。
或紧凑地表示为。
i=1,2,31.5）
通常，跟简洁地将相等表示为。
由于下标i没有特别指明，可以认为它代表了三种可能下标中任一个。
如果矢量乘以一个正的标量а，则结果а定义为一个新的矢量，方向与同向，大小为的а倍。如果а为负值，则负号表示相反的方向。
由平行四边形法则得到两个矢量u与之和的定义，如图1.3所示。显然，矢量的加减可以定义为其分量的加减。
w=u 1.7a）
根据这些分量，有。
1.7b）或采用
图1.3矢量相加。
1.3字母指标记法与求和约定。
标量：只有大小，没有方向的量。
矢量：既有大小又有方向的量。
张量：具有多重方向性，更为复杂的物理量。
字母指标记法：即将一物理量的所有分量用一个字母表示，并用指标区别不同的分量。例如，一个矢量v可以表示如下：
v=（v1,v2,v3）=vi 其中i=1,2,3
einsten求和约定：即一个指标在表达式某一项中重复出现两次，则该指标要取完指标域中所有值，然后将各项加起来，该重复出现的指标称为哑标。只出现一次的指标称为自由指标。
例如：其中说明哑标不区分分量，只是求和，故可以更换符号。
双重求和：
三重求和：注意：指标在表达式某一项**现三次以上，则为违约，须保留求和符号∑，如中的∑须保留。
规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方画横线或用文字进行说明（如：i不表示求和）。
1.4kronecher符号。
定义δij为：
ij的矩阵形式为：
可知，符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：
ij的作用：1、更换指标；2、选择求和。
1.5排列符号。
eijk的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。
由上定义可得在三维空间中有：即。故。
混合积：三阶行列式的展开：
常见恒等式：
1.6坐标转换。
如上图所示，设旧坐标系的基矢为，新坐标系的基矢为。
有。在下进行分解：
在下进行分解：
其中， 为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。
空间点p在新老坐标系矢径。
其中为上图中坐标原点的位移矢量。
将向新坐标轴上投影的矢量的分量：
由此得新坐标用老坐标表示的公式：
类似地，将向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：
特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时，上两式的矩阵形式为：
由上可知， ，是正交矩阵，则。
综合以上可知：
同理，可推出。
将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，； 将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，
其中为常数，称为雅克比行列式。若j处处不为0，则说明存在相应的逆变化。即：
1.7张量的分量坐标转换规律。
1.7.1一阶张量。
一阶张量在新老坐标系中的分解为：
其中， 则，得到。
同理，，得。
矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量。标量为零阶张量。
1.7.2二阶张量。
定义为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。
由可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为。
又，记 则。该式表示a与b并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为。
将代入可得。
此分量转换可进一步推广到高阶张量。
张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。
1.8张量的代数运算。
1.8.1张量的相等。
若两个张量和相等，则，即同一坐标系中的分量相等。
因为都符合转换规律，有：
1.8.2张量的和、差。
同维同阶方可进行和差运算。
1) 则。2)a为一矢量，t、s为张量，有。
3)分量形式：
4) 矩阵形式：
1.8.3数积。
张量a，标量λ， 则。
1.8.4张量的并积。
两个同维不同阶（同阶）张量a、b的并积c是一个阶数为a、b阶数之和的高阶张量。
同样符合转换规律。
1.8.5张量的缩并。
若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。
有。取不同基矢量点积，缩并结果不同。
1.8.6张量的点积。
两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。
其中。1.8.7双点积。
两个张量并乘之后再进行两次缩并，称为双点积。
并联式双点积。
串联式双点积。
1.8.8张量的商法则。
张量t，如果它满足对于任意一个q阶张量s的内积均为一个p阶张量u，即在任意坐标系内以下等式成立，则t必定是一个p+q阶的张量。以上规则称为张量的商法则。
2二阶张量。
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