数值分析复习题。
第二章线性方程组的数值解法。
1、用分解法解方程组。
2、用jacobi，gauss-seidel迭代法解下列方程组是否收敛？为什么？若将方程组变为，再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？
3、设非奇异，，，给定迭代格式。
1）证明：若按上述迭代格式生成的序列是收敛的，则必收敛于方程组之解；
2）已知，问如何取值可使上述迭代格式生成的序列收敛，又取何值时收敛最快。
4、设有方程组，其中。
已知它有解，如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的相对误差。
5、设有矩阵，对角阵，若和都对称正定，证明：求解方程组的jacobi迭代法对任意初始向量都收敛。
6、设是一个对称正定矩阵。分别是它的最大（小）的特征值，建立迭代法。
求出的范围使迭代法收敛。 并求出最好的使得迭代法有最大的渐近收敛速度。
7、设是一个对称正定矩阵，且对角线元素为1. 建立求解的对称高斯—塞德尔迭代法如下：
证明该迭代法收敛。
8、 令，求出最大可能的取值范围使得是对称正定的。 当在这个范围内时，用雅可比迭代法解是否收敛？求出最大可能的取值范围使得雅可比迭代法解收敛。
9、 若时对称正定矩阵，其最小、最大特征值分别是，. 为了求解，我们设计如下迭代方法：
1）给出上面的迭代法的相容性条件。
2）求出，使得（*）的渐近收敛速度尽可能大。
10、设，为单位矩阵，若，则非奇异，且，其中指矩阵的算子范数。
11、设的系数矩阵对称正定，证明：此方程组有唯一解，且gauss-seidel迭代法收敛。
12、设方程组。
1）jacobi迭代法及gauss-seidel迭代法是否收敛？理由是什么？
2）若均收敛，哪个方法收敛速度快？
函数的插值。
13、建立三次多项式，使它在、处与相切，并写出余项的估计式。
14、求在上的等距分段线性插值函数，并估计误差；要使得在上用对进行插值计算时误差都不超过，则至少需要将分成多少段？
15、设在上二阶连续可导，。用函数插值法证明。
16、利用差分及插值多项式为工具证明。
17、设在区间上连续，证明：分段线性插值多项式。
在上一致收敛于。
18、 构造次数不超过4的多项式，使其满足下列插值条件。
函数的数值逼近。
19、已知，，求的二次最佳平方逼近多项式（权为1），并求误差。
20、已知函数值表为。
试通过构造正交多项式，求曲线拟合的二次最小二乘解，并计算平方误差。
21、确定参数，使带权的积分。
取得最小值，并计算该最小值。
22、已知一组实验数据如下：
求形如的最小二乘解。
数值积分。23、运用梯形公式、simpson公式、cotes公式分别计算积分，并估计各种计算方法的误差（计算中保留五位有效位数字）。
24、已知，，
1）求在上以这三个节点为求积节点的插值型求积公式；
2）指明求积公式的代数精度；
3）用所求公式计算。
25、计算定积分。
1）如果要求误差小于0.002，用复化梯形公式计算时，需将区间分成多少等份？
2）要求误差小于0.002，用复化simpson公式时应分成多少等份？
3）要求误差小于0.002，用复化cotes公式时应分成多少等份？
26、将计算积分的梯形公式与中矩形公式做线性组合，使组合后的积分公式具有尽可能高的代数精度，并指出所求积分公式的代数精度。
27、把区间等分成4等份，每个小区间的长度记为和，. 建立形如的数值积分公式，使其有尽可能高的代数精确度，并求出代数精度。
28、设，确定求积公式中的待定参数，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式。
非线性方程的数值解法。
29、说明方程在区间[1，2]内有惟一根，并选用适当的迭代法求（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。
30、利用牛顿迭代法，给出求实数的五次方根的迭代公式，并由此计算的近似值，精度为。
31、设有解方程的迭代法，1）证明均有（为方程的根）；
2）取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；
3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
32、已知在区间上有根，在上连续，且，试构造局部收敛于的迭代公式。
33、设具有各阶导数，是的重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭代序列有下列极限关系。
34、试确定常数、、，使迭代公式产生的序列收敛到，并使其收敛的阶尽可能高。
35、设函数具有二阶连续导数，，，是由牛顿迭代法产生的序列，证明。
36、 设函数具有连续的阶导数，是的重根（），是由牛顿迭代法产生的序列，证明。
37、 对于迭代函数，试讨论：
1）当为何值时， 产生的序列收敛于；
2）为何值时收敛最快？
3）分别取，，计算的不动点，要求。
常微分方程数值解法。
38、求解常微方程初值问题的单步法。
1）写出其局部截断误差表达式。
2）要使方法是二阶方法，应取何值？
3）试给出该方法应用于试验方程的稳定条件。
39、用梯形法解初值问题，证明其近似解，并证明当步长时，收敛到原初值问题的精确解。
40、证明解初值问题的计算格式。
是二阶方法。
41、对初值问题，设关于满足李普希兹条件，证明计算方法是收敛的；又当=时（），给出该方法稳定的条件。
42、 证明：常微分方程初值问题数值解法的梯形公式。
具有二阶精度。
43、证明：改进的euler方法是收敛的。
44、 求常微分方程初值问题数值解法的梯形公式应用于试验方程的稳定条件。
填空题。.142作为的近似值具有位有效数字，相对误差限为。
2、当，时，用韦达定理求的一根时，应该改用作计算，以减少舍入误差。
3、用二分法求方程在区间内的根，进行二步后根所在区间为。
4、设，，则。
5、设是以互异的节点为插值节点5次lagrange插值基函数，则。
6、设，为使可分解为，其中是下三角阵，的取值范围为。
7、用复化simpson公式计算定积分，区间至少要分成等份才能保证截断误差不超过。
8、解常微分方程初值问题的梯形公式的绝对稳定区域是。
9、用牛顿法求方程在内的根，已知在内不为0，在内不变号，那么选择初始值满足则它的迭代解数列一定收敛到方程的根。
10、解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报―校正公式是：
预报值：，校正值：yk+1
11、，要使得迭代法局部收敛到，则取值范围是。
12、 设线性方程组的系数矩阵对称正定，迭代格式为，证明：当时，上述迭代法收敛（其中是的特征值的上界）
13、设是以互异的为插值节点的lagrange插值基函数，证明：
14、设，证明：
15、令是区间上带权的最高项系数为1的正交多项式，其中，求及。
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