2012级研究生学位课考试试卷。
数值分析评分标准。
开卷考试，完成时间110分钟）
一、（22分）计算下列各题。
1、(6分) 已知反映某实际问题的数学模型为，经测量所得，测量仪器的误差限为0.001，（1）试求出的误差限和相对误差限；（2）判定近似函数值有几位有效数字。
解： 2分。
4分。因为的误差限，所以有4位有效数字。 6分。
2.(6分) 已知函数计算函数的2阶均差，和3阶均差。解：2分。
4分。6分。
3.(6分) 试确定求积系数的取值，使求积公式： 具有较高的代数精度，并判定该求积公式的代数精度。
解：分别另使得。
解得：求积公式为。
3分。本计算公式具有3阶精度。 6分。
4.(4分) 已知矩阵，（1）求；（2）为何值时取得最小，求出最小值。
解：因为，所以2分。
因为时单调增，时单调减，所以时取得最小值7
4分。二、(10分) 在空间上，求定义在区间[-1,1]上函数的最佳平方逼近多项式。
其中，权函数，内积。
解： 6分。
解方程组得。
则的最佳平方逼近多项式为10分。
三、(18分) 已知函数在节点满足：
1）计算函数的各阶差商，并将计算结果填入下列数据表中。 (标有*号处不填)
2）分别求出满足条件的 2次 lagrange 和 newton差值多项式。
3） 试求一个四次插值多项式，满足。
并用多项式降幂形式表示。
解：（1）8分。
10分。12分。令则。由。
因此 18分。
四、(18分)
1). 用romberg方法计算，将计算结果填入下表(*号处不填).
2). 试确定三点 gauss-legender 求积公式的gauss点与系数，并用三点 gauss-legender 求积公式计算积分：.解：6分。
由三次legendre多项式得得gauss点：
9分。再由代数精度得12分。
即解得14分。
所以三点gauss-legendre求积公式为：
过点（1，-1）和点（3，1）作直线得。
所以积分。18分。
五、(12分)
1） 用一元函数微积分判定方程的正根（）范围。
2） 用newton 迭代法计算方程解的近似值。(要求精度满足：).
解：因为当时， .又。
所以原方程在区间[1,2]有唯一正根6分。
令取初值。12分。
六、(12分) 用追赶法求解线性方程组：.
其中， 解一：由得。6分。令
由得10分。
再由得12分。
解二：令。由得 6分。
由得 8分。
由得。10分。
方程组的解为： 12分。
七、(8分) 已知初值问题且，假定，试确定，b的值，使计算公式：
具有二阶精度。（即截断误差为）
解： 6分。
与比较得。解得 8分。
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