第56课直线与双曲线。
考试目标主词填空。
1.双曲线的定义与方程。
双曲线的第一定义：已知f1、f2是平面内两个定点，p是动点，当且仅当它们满足条件|pf1|－|pf2|=±2a，正常数2a<|f1f2|时，p的轨迹是双曲线。
双曲线的第二定义：设f为定点，l是定直线，p是动点，p、f及l共面，当且仅当它们满足条件时，p的轨迹是双曲线。
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程是；中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程是。
2.双曲线的几何性质。
设双曲线方程为：b2x2－a2y2=a2·b2(a>0，b>0，c2=a2+b2)，其范围是x|≥a，y∈r，对称轴是坐标轴，对称中心是原点，顶点坐标是 (±a，0)，焦点坐标是 (±c，0)，离心率是，准线方程为，渐近线方程是。
3.点与双曲线的位置关系。
设双曲线方程为： =1，点p的坐标是(x0，y0)，则：
p在双曲线上的充要条件是，p在双曲线右支所包含的区域(不包括边界线)内的充要条件是。
4.直线与双曲线的位置关系。
设直线为l：ax+by+c=0，双曲线方程为c：b2x2－a2y2=a2b2，联立l与c消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为δ，那么：
l与c相离的充要条件是δ<0；
l与c相切的充要条件是δ=0；
l与c相交于不同两点的充要条件是δ>0.
5.双曲线方程的确定。
求双曲线方程，若中心和对称轴已知，则在a、b、c中只须确定两个字母(因c2=a2+b2)，常用的方法是列方程组，解关于a、b、c的方程组，从而确定系数a、b、c.
6.弦长计算
计算双曲线被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，从而|p1p2|==f(k)(k为直线p1p2的斜率，若k不存在，则更易计算).
题型示例点津归纳。
例1】 根据下列条件求双曲线的标准方程。
1)两准线间的距离是2，焦距为6；
2)与椭圆x2+2y2=2共准线，且离心率为2；
3)已知p点在以坐标轴为对称轴的双曲线上，点p到两焦点的距离分别为4和2，过p作实轴的垂线恰好过双曲线的一个焦点。
解前点津】 (1)因焦点的位置有两种情形，故标准方程有两种结果，由2c=6及2·=2即可确定a、b、c，(2)由条件可选择方程形式为=1，(3)有两种形式。
规范解答】 (1)由2c=6及2·=2得：a2=3，b2=c2－a2=9－3=6，故双曲线方程为。
2)由条件知双曲线的准线方程是x=±2，故得方程组：
解之：a=4，c=8从而b=4，故双曲线方程为： =1；
3)当焦点在x轴上时，设双曲线方程为： =1，焦点为f(c，0)由条件可设p(c，m) =4
m=2及。解方程组得a2=1，b2=2，故此时双曲线方程为x2－=1，同理可得，当焦点在y轴上时，双曲线方程为y2－=1.
解后归纳】 求双曲线的标准方程，一是要选择恰当的形式，二是利用其几何性质，列出关于a、b、c的方程，解方程组即可确定。
例2】 已知双曲线的中心在原点，焦点f1、f2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)
1)求双曲线方程；
2)若点m(3，m)在双曲线上，求证：mf1⊥mf2；
3)求△f1mf2的面积。
解前点津】 因e=，所以c2=2a2=a2+b2a2=b2，故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点位置没有确定，故可设双曲线方程为x2－y2=λ(0).
规范解答】 (1)∵e=，∴c2=2a2=a2+b2 a2=b2，∴双曲线方程可设为：x2－y2=λ，点(4，－)在双曲线上，∴16－10=λ，即λ=6，故双曲线方程为：x2－y2=6.
2)由(1)知：f1(－2，0)，f2(2，0)，点(3，m)在双曲线上，∴9－m2=6，m2=3，故=－1，∴mf1⊥mf2.
3)△f1mf2的底|f1f2|=4，f1f2的高h=|m|=，s=6.
解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为m·x2+n·y2=1(mn<0).
例3】 已知双曲线=1的离心率e>1+，左、右焦点分别为f1、f2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点p，使得|pf1|是p到l的距离d与|pf2|的等比中项？
解前点津】 从假设存在这样的p点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果。 【规范解答】 设在左支上存在p点，使|pf1|2=|pf2|·d，由双曲线第二定义得：
即|pf2|=e·|pf1
又由双曲线的第一定义得：|pf2|－|pf1|=2a
从①②中解得：|pf1|=，pf2|=，因△pf1f2中有|pf1|+|pf2|≥2c，≥2c
而e=，故由③得：e2－2e－1≤0解之：1－≤e≤1+，e>1，∴11+相矛盾，∴符合条件的p不存在。
解后归纳】 对于一般的探索命题，常从假设存在入手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假设的命题成立。
例4】 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由。
1)渐近线方程为x±2y=0；
2)点a(5，0)到双曲线上动点p的距离的最小值为。
解前点津】 讨论焦点所在位置，从而确定双曲线方程形式，对条件(2)，转化为求函数最值问题。
规范解答】 假设存在同时满足题中两条件的双曲线。
1)若双曲线焦点在x轴上，可设双曲线方程为，因渐近线为。
y=±，双曲线方程可化为： =1.
设动点p的坐标为(x，y)，则。
ap|= x≥2b或x≤－2b).
由条件②，若2b≤4即b≤2，则当x=4时，|ap|min=，这是不可能的。
若2b>4即b>2时，则当x=2b时，|ap|min=|2b－5|=，解之。
b= (其中<2应舍去).
此时存在双曲线方程为：
(2)若双曲线焦点在y轴上，可设双曲线方程为=1(x∈r)，|ap|=，x∈r，∴当x=4时，|ap|min=，b2=1，此时存在双曲线方程为 y2－=1.
解后归纳】 给出双曲线的渐近线，并不能确定焦点的方位，故要讨论双曲线的两种形式。
对应训练分阶提升。
一、基础夯实。
1.若双曲线的两条渐近线是y=±x，焦点是f1(－，0)，f2(，0)，那么它的两条准线间的距离是。
abcd.
2.曲线2x2－y2+6=0上的一点p到一个焦点的距离为4，则p点到较远的准线的距离为。
ab. cd.
3.与椭圆=1有相同焦点且以y=±x为渐近线的双曲线方程是。
a. =1b.
cd. 4.设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 (
abcd.
5.双曲线=1与椭圆=1，一定有。
a.两离心率之积为1b.相同的两条准线。
c.相同的两个焦点d.实轴长=长轴长。
6.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等份，则它的离心率为。
abcd.
7.准线方程为x+y=1，相应的焦点为(1，1)的等轴双曲线方程是。
8.平面内动点p到两定点f1、f2的距离之差的绝对值是常数2a，则动点p的轨迹是 (
a.双曲线b.双曲线或两条射线。
c.两条射线d.椭圆。
9.设θ是第三象限角，方程x2+y2sinθ=cosθ表示。
a.焦点在x轴上的椭圆b.焦点在y轴上的椭圆。
c.焦点在x轴上的双曲线d.焦点在y轴上的双曲线。
10.设双曲线=1(0a.2 bcd.
二、思维激活。
11.对于双曲线=1(a>0，b>0，c=)而言，它的准线与渐近线的交点到中心的距离等于它的虚轴的端点到顶点的距离等于。
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七 统计。一 选择题。1 四川理1 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下 27 5，31 5 1l 31 5，35 5 12 35 5 39 5 7 39 5,43 5 3 根据样本的频率分布估计，数据落在 31 5，43 5 的概率约是。abcd 答案 b 解析 从到共有22，所以。...
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