（8）空间图形新题原创5道。
1.有六根细木棒，其中较长的两根分别为a、a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为。
a.0 bc.0或 d.以上皆不对。
讲解：b。如图所示，本题共可作出两幅图，若不细辨别，可立即得c答案，但若对两幅图的存在性稍作回想，立即发现图实质上是一个陷阱，此图根本不存在。
取ac中点e，连结be、ed，得be=ed=a，而be+ed=a2．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积m·n是。
a.6 b.3 c.54 d.24
讲解：a。设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与r2,再设六面体中的正三棱锥a—bcd的高为h1,八面体中的正四棱锥m—npqr的高为h2,如图所示，则h1=a,h2=a.
v正六面体=2·h1·s△bcd=6·r1·s△abc，∴r1=h1=a.
又∵v正八面体=2·h2·s正方形npqr=8·r2·s△mnp，a3=2r2a2,r2=a,于是是最简分数，即m=2,n=3,∴m·n=6.故应选a.
3.已知平面α∥平面β,直线lα,点p∈l,平面α、β间的距离为8，则在β内到点p的距离为10且到直线l的距离为9的点的轨迹是。
a.一个圆 b.两条直线 c.四个点 d.两个点。
讲解：c。如图，设点p在平面β上的射影是o，则op是平面α、β
的公垂线段，op=8.在β内，到点p的距离等于10的点到点o的。
距离等于6，故点的集合是以o为圆心，以6为半径的圆。在β内，到直线l的距离等于9的点的集合是两条平行直线m、n,它们到点。
o的距离都等于<6,所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点，因此所求的点的轨迹是四个点，故应c.
4. 空间填：“存在”或“不存在”）这样的四个点a、b、c、d，使得ab=cd=8 cm,ac=bd=10cm,ad=bc=13cm.
讲解： 要去寻找这样的点是很难叙述的。但我们可以虚拟。
一些特殊的图形去模拟运动，判断结果。细看题目有四。
个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构。
看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论。
在空间中，分别以为边长，作如图所示平面。
四边形，它由△abc和△bcd组成，公共边为bc=13 cm,ac=bd=10cm,ab=cd=8 cm,固定△abc所在的平面，令△bcd绕着边bc旋转。显然当d位于△abc所在的平面时，ad最大。由bc=13cm,ac=10cm,ab=8cm,可得cosbac=-,即可知∠bac是钝角，故对于平行四边形（即d在平面abc内时）abdc，对角线ad的长小于对角线bc的长，即ad显然，当点d不在面abc内时都有ad5.
不共面的三条定直线l1,l2,l3互相平行，点a在l1上，点b在l2上，c、d两点在l3上，若cd=a(定值），则三棱锥a—bcd的体积。
a.由a点的变化而变化b.由b点的变化而变化。
c.有最大值，无最小值d.为定值。
讲解：d。如图，把△bcd当作三棱锥的底面，ao⊥面bcd于。
o，∵l2∥l3,∴无论b点在l2上什么位置，△bcd的面积总。
不变。又∵l2∥l3,∴l2、l3确定一个平面α,∵l1∥l2,且a不在l2、
l3确定的平面α上，∴l1平行于l2、l3确定的平面α,从而不论。
a在l1的什么位置，高ao的长总不变。
又v=×高×底面积，故无论a、b在什么位置时，其体积。不变。
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