一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．已知数列满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为sn。则满足不等式|sn-n-6|《的最小整数n是（ ）
a．5b．6c．7d．8
2．设o是正三棱锥p-abc底面三角形abc的中心，过o的动平面与pc交于s，与pa、pb的延长线分别交于q、r，则和式（ ）
a．有最大值而无最小值b．有最小值而无最大值。
c．既有最大值又有最小值，两者不等 d．是一个与面qps无关的常数。
3．给定数列，x1=1，且xn+1=，则=（
a．1b．-1c．2d．-2+
4．已知=(cosπ, sinπ),若△oab是以o为直角顶点的等腰直角三角形，则△oab的面积等于（ ）
a．1bc．2d．
5．过椭圆c：上任一点p，作椭圆c的右准线的垂线ph（h为垂足），延长ph到点q，使|hq|=λph|(λ1)。当点p在椭圆c上运动时，点q的轨迹的离心率的取值范围为（ ）
ab． cd．
6．在△abc中，角a、b、c的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△abc（ ）
a．是等腰三角形，但不是直角三角形 b．是直角三角形，但不是等腰三角形。
c．是等腰直角三角形d．不是等腰三角形，也不是直角三角形。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是。
8．如果：（1）a, b, c, d都属于。
（2）a≠b, b≠c, c≠d, d≠a
（3）a是a, b, c, d中的最小数。
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是___
9．设n是正整数，集合m=．求最小的正整数k，使得对于m的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于。
10．若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是。
11．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为。
12．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a
三、解答题（每小题20分，共60分）
13．已知a, b, c∈r+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。
14．已知半径为1的定圆⊙p的圆心p到定直线的距离为2，q是上一动点，⊙q与⊙p相外切，⊙q交于m、n两点，对于任意直径mn，平面上恒有一定点a，使得∠man为定值。求∠man的度数。
15．已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,1）当b>0时，若对任意x∈r都有f(x)≤1，证明：a≤2；
2）当b>1时，证明：对任意x∈[0, 1], f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2；
3）当0附加题一、（50分）如图，已知△abc的外角∠eac的平分线与△abc的外接圆交于点d，以cd为直径的圆分别交bc，ca于点p、q，求证：线段pq平分△abc的周长。
二、（50分）求所有实多项式f和g，使得对所有x∈r，有：(x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。
三、（50分）有n支球队参加足球联赛，每支球队与其他球队只比赛一场，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，联赛结束后，有一些球队可能会被取消比赛资格，因此我们的比赛结果也会被取消，剩下的球队将重新计算成绩，积分多的球队将会成为这次联赛的冠军（如果只有一支球队没取消比赛资格，则他就是冠军）。设fi(t)(i=1, 2, …n)是在这次联赛t中使得第i支球队获得冠军，而被取消比赛资格的球队数目的最小值，又设f(t)=f1(t)+f2(t)+…fn(t)，对于n≥5。求f(t)的最大值和最小值。
高中数学竞赛模拟试卷答案。
一、选择题。
1．由递推式得：3(an+1-1)=-an-1)，则是以8为首项，公比为-的等比数列，∴sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…an-1)= 6-6×(-n，∴|sn-n-6|=6×()n<，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选c。
2．设正三棱锥p-abc中，各侧棱两两夹角为α，pc与面pab所成角为β，则vs-pqr=s△pqr·h=pq·prsinα)·ps·sinβ。另一方面，记o到各面的距离为d，则vs-pqr=vo-pqr+vo-prs+vo-pqs,s△pqr·d=s△prs·d+s△prs·d+s△pqs·d=pq·prsinα+ps·prsinα+pq·ps·sinα，故有：pq·pr·ps·sinβ=d(pq·pr+pr·ps+pq·ps)，即=常数。
故选d。
3．xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+),xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，……有。故选a。
4．设向量=(x, y)，则，即，即。 ∴或，∴s△aob==1。
5．设p(x1, y1)，q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以h点的坐标为(3, y)。又∵hq=λph，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得q点轨迹为，所以离心率e=。
故选c。
6．由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故c=2a，sinb=2sina，因a+b+c=180°，所以3a+b=180°，因此sinb=sin3a，∴3sina-4sin3a=2sina，∵sina(1-4sin2a)=0，又sina≠0，所以sin2a=，而sina>0，∴sina=。因此a=30°,b=90°,c=60°。
故选b。
二、填空题。
由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。
8．46个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成c=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成=16个不同数。
abcd中恰有4个不同数字时，能组成a=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。
9． 解考虑m的n+2元子集p=．
p中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3．
将m的元配为n对，bi=(i，2n+1-i)，1≤i≤n．
对m的任一n+3元子集a，必有三对同属于。
a(i1、i 2、i 3两两不同)．
又将m的元配为n-1对，c i (i，2n-i)，1≤i≤n-1．
对m的任一n+3元子集a，必有一对同属于a，这一对必与中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+3
10．。①若t2-4>0，即t<-2或t>2，则由》x(|x|≤1)恒成立，得， t+1>t2-4, t2-t-5<0解得，从而-t2+4; t2+t-3>0，解得：t《或t>，从而11．23．。
12．1或-2。令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)>0，因此y∈n*时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。
下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-t+2)>0，即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0
相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。
三、解答题。
13．解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2)2+(2+2)2=
4ab+8ac+8bc+16c。所以。
当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。
14．以为x轴，点p到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设q的坐标为(x, 0)，点a(k, λq的半径为r，则：m(x-r, 0), n(x+r, 0), p(2, 0), pq==1+r。所以x=±,tan∠man=
令2m=h2+k2-3，tan∠man=，所以m+rk=nhr，∴m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan∠man==h=±。
所以∠man=60°或120°（舍）（当q(0, 0), r=1时∠man=60°），故∠man=60°。
15．（1）证：依题设，对任意x∈r，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)2+，∴f()=1，∵a>0, b>0, ∴a≤2。
（2）证：（必要性），对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因为b>1，可推出f()≤1。
即a·-≤1，∴a≤2，所以b-1≤a≤2。
2023年浙江省高中数学竞赛
中等数学。中图分类号 文献标识码 文章编号一 选择题 每小题 分，共 分 已知集合。一 一口 且 则实数口取值范围为 口 口 一 口 一 或 一 口 若 卢 贝黾的 条件 充分而不必要 必要而不充分。充分必要 既不充分也不必要。已知等比数列 口 且第一项至第八项的几何平均数为 则第三项是 海。已知复...
2023年浙江省高中数学竞赛
年第 期 中图分类号 文献标识码 文章编号。一。选择题 每小题 分，共 分 已知 为虚数单位。则复数 一 一一 一 詈 下列函数中，既是奇函数，又在区间。一 上单调递增的函数为 已知 与易均为单位向量，其夹角为。则命题 口一 是命题 詈，的 条件 充分非必要 必要非充分 充分且必要 非充分也非必要。...
2023年浙江省高中数学竞赛
谢谢你的观赏。通知。各县 市 教育局教研室 有关学校 2016年浙江省高中数学竞赛由浙江省数学会组织举办，嘉兴市参赛组织工作由嘉兴市中学数学教学分会负责。现将有关事宜通知如下 1 竞赛时间 2016年4月17日 星期日 上午9 00 11 00。2 参赛对象 1 高二学生参加a组竞赛。适当控制人数 ...