应用型问题分类解析与点评。
1、建立方程（组）模型。
例1 为迎接2024年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？
解析：设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套．根据题意，得。
例2 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？
解析：提供两种思路：
解法一：设矩形温室的宽为，则长为．根据题意，得。
解这个方程，得（不合题意，舍去），．
所以，．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是．
解法二：设矩形温室的长为，则宽为．根据题意，得。
解这个方程，得（不合题意，舍去），．
所以，．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是．
例3 2024年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南a地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
1）求a地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从a地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从a地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
3）a地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从a地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到b地．若有一批货物（不超过10车）从a地按外运路线运到b地的运费需8320元，其中从a地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到b地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
解析：（1）设地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为千米，由题意得，解得． 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．
2）（元），该车货物从地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元．
3）设这批货物有车，由题意得，整理得，解得，（不合题意，舍去），这批货物有8车．
2、建立不等式（组）模型。
例4 某工厂计划为震区生产两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套型桌椅（一桌两椅）需木料，一套型桌椅（一桌三椅）需木料，工厂现有库存木料．
1）有多少种生产方案？
2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用（元）与生产型桌椅（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用生产成本运费）
3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．
解：（1）设生产型桌椅套，则生产型桌椅套，由题意得。
解得。因为是整数，所以有11种生产方案．
随的增大而减少． 当时，有最小值．
当生产型桌椅250套、型桌椅250套时，总费用最少．
此时（元）3）有剩余木料，最多还可以解决8名同学的桌椅问题．
3、建立函数模型。
例4 为迎接2024年北京奥运会，某学校组织了一次野外长跑活动．参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威．如图，线段分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程（千米）随时间（分钟）变化的函数图象．根据图象，解答下列问题：
1）分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程与时间的函数表达式；
2）求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？
解析：（1）由图象上信息（点的坐标）可求得解析式，长跑：,骑车：；
2）我们要思考的是“追上了”是什么意思，反映在图上就是两个一次函数的图象（两条直线）有了交点，想到这点，联立以上两个得方程组：解得：x=30,y=5,即长跑的同学出发了30分钟后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学。
(江苏省海安县李堡镇初级中学刘东升)
例5 红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
未来40天内，前20天每天的**y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的**y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
2）请**未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a<4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．
解析：(1)将和代入一次函数m=kx+b中，有，，∴m=－2x+96.
经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，故所求函数解析式为m=－2x+96.
2)设前20日销售利润为p1元，后20日销售利润为p2元，由p1=(－2x+96)(t+5)=－t2+14t+480=－(t－14)2+578.
1≤t≤20且t为整数 ∴当t=14时，p1有最大值578元。
由p2=(－2x+96)(－t+20)=t2－88t+1920= (t－44)2－16 ．
21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数p2在21≤t≤40上随t的增大而减小，t=21时，p2有最大值为(21－44)2－16=513元。
578＞513，故第14天时，销售利润最大为578元。
3) p1=(－2x+96)(t+5－a)= t2+(14+2a)t+480－96 a
对称轴为t==14+2a.
1≤t≤20， ∴当t=14+2a≥20即a≥3时，p1随t的增大而增大．又∵a＜4，∴3≤a＜4.
4、统计、概率型应用问题。
例6 八年级（1）班开展了为期一周的“孝敬父母，帮做家务”社会活动，并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现，把结果划分成五个等级．老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间，制作成如下的频数分布表和扇形统计图．
学生帮父母做家务活动时间频数分布表。
1）求的值；
2）根据频数分布表估计该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间；
3）该班的小明同学这一周帮父母做家务2小时，他认为自己帮父母做家务的时间比班级里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由．
解析：（1），．
2）（小时）；
答：该班学生这一周帮助父母做家务时间的平均数约为1.68小时．
3）符合实际．设中位数为，根据题意，的取值范围是，因为小明帮父母做家务的时间大于中位数．所以他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多．
例7 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2，3，4，，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
解答下列问题：
1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的概率将稳定在它的频率附近，试估计出现“和为7”的概率；
2）根据（1），若是不等于2，3，4的自然数，试求的值．
解析：(1)认真分析上表实验数据发现，当摸球总次数不断增大时，“和为7”的频率渐趋稳定于0.33，于是我们可以利用频率估计概率的方法估计为0.33．
(2)结合(1)中估计出来的“和为7”的概率为0.33，这可看作的近似值，而所给的四个小球随机摸出2个小球的可能性列表如下：
很明显，由于此时6种情形中和为7的只有一种，是达不到的概率的，必然还有一种情形和为7，而由于是不等于2，3，4的自然数，那只有第3种情形可能和为7了，即x=5.
5、几何型应用题。
例8 如图11，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．
解析：要求在圆形边缘上安装监视器的个数，怎样分析这个问题呢？还是从监控角度出发来思考，如果只安装两个监视器，是不能监控整个展厅的，这可以从圆中同弧所求的圆周角等于圆心角的一半来思考，整个圆周所对的两个圆周角（把两个监视器看成圆周角的顶点）是最多只能涵盖，而整个圆周所对的不同圆周角度数之和为180度，显然装有三个监视器（可以安装在圆内角三角形的三个顶点处）可以监控整个展厅了．
例9 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形abcd，点e、f分别在边bc和cd上，△cfe、△abe和四边形aefd均由单一材料制成，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形efgh．试判断图(2)中四边形efgh是何形状，并简要说明理由。
解析：四边形efgh是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕c点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故ce=cf =cg．∴△cef是等腰直角三角形。因此四边形efgh是正方形。
例10 某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．
如图，甲，乙两村坐落在夹角为的两条公路的段和段（村子和公路的宽均不计），点表示这所中学．点在点的北偏西的3km处，点在点的正西方向，点在点的南偏西的km处．
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
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