摘要。本文属于企业的营销管理问题，公司需要根据不同客户的订单需求，制定合理的生产和销售方案，使最终的获利尽可能大。因此本文从不同的角度，针对如何制定合理的生产和销售方案进行了研究。
由于整个题目都是以利润最大为基本目标的，但是又分别有不同条件的限制，可知本题整体属于规划模型问题。首先我们对题目中所给的数据进行了处理，通过二次曲线拟合得到了不同费用与销售量的关系曲线；然后对存在概率分布的订单利用期望值模型进行了简化。对问题一和问题二，题目要求分别从公司获利最大和销售部收入最大两个角度，给出合理的生产和销售方案。
由于公司生产能力的限制，对任何一个潜在客户的订单和计划外的订单，公司都有两种选择，接受或拒绝，同时公司又想获得的利润最大，因此我们以对订单的取舍为决策变量建立了01整数规划模型。分别给出不同的目标函数和约束条件，通过lingo软件进行求解，得到问题一的生产和销售方案以及问题二的销售方案，并得到公司的最大利润为1628.565万元，销售部的最大收入为217.
5296万元；其中问题二的生产方案，通过分析可以直接得到按照计划外的最大订单量进行生产。
对问题三和问题四，题目要求要同时兼顾公司和营销部的利益，因此我们在前两问的基础上，建立了多目标函数的01整数规划模型，经过分析得到相应的目标函数和约束条件，利用主要目标法通过lingo软件求解得到了满足目标函数的生产和销售方案，并得到此时问题三中的公司最大利润为1618.773万元销售部的最大收入为217.4425万元，问题四中的公司最大利润为1626.
171万元销售部的最大收入为204.2678万元。其中问题四中题目又要求尽量做到均衡销售，因此我们从首先满足计划内订单的角度出发，在目标函数中加入了权值系数，使得到的销售方案更加合理。
对问题五，已知销售部可以自由定价，并且给出了销售量随**的浮动规律。首先我们分析得到此时的生产方案与问题二中相同；然后以问题二中求解销售方案的模型为基础，对模型中计算销售额的方法进行了改进，由于销售量是随商品**变化而变化的函数，所以此时的销售额同时是**和销售量两个变量的函数。通过lingo软件进行求解得营销部的收入最大为235.
8316万元，并得到了此时的销售方案和商品的最终定价。
总之，我们根据不同的条件，分别建立了单目标和多目标的01整数规划模型，并贯穿于整个解题过程中，可见模型简便，可操作性强。
关键词期望值 01整数规划模型多目标函数权值均衡销售。
一、 问题重述。
企业的目的是能够更多地将产品销售出去，并获得最大利润。一般的，企业下设营销部，进行产品的销售。由于企业生产能力的制约，因此需要在满足已签约的销售合同量的基础上，对意向签约量有选择的安排生产。
一方面，组织安排生产已签约的销售合同；另一方面，企业希望营销部门尽力争取与意向签约的客户签订正式销售合同。
除此之外，企业还希望销售部门努力再多销售一些计划外的产品。对于计划外产品，实行承包制，营销部只需向企业缴纳利润，并且产品的生产费用由企业承担，与销售有关的费用（如产品的宣传费用等）由营销部承担。对于所签约的销售合同和意向签约量（计划内），企业根据销售量向营销部发放经费（包括工资以及宣传费用等）；
已知给出了有关宏宇电器公司的生产和销售中的一些信息，请分别按以下要求为宏宇电器公司制定相应的生产和销售方案：
1）使公司的利润达到最大；
2）使营销部的总收入极大化；
3）兼顾公司和营销部二者的利益；
4）兼顾公司、营销部的利益以及客户的需求，尽量做到均衡销售；
5）公司为了调动营销部的积极性，为公司多创利润，规定对于计划外销售的产品，营销部可以自行定价。统计数据显示，自行定价后每单位产品的销售****或下降5％，则三类小家电的可能销售量相应的减少或增加10％。试确定使营销部总收入最大的定价、生产及销售方案。
二、 基本假设。
1. 和销售有关的各种费用主要考虑宣传费用，其它次要因素忽略。
2. 商品单位**浮动与销量变动的对应关系仅限于5%与10%的对应关系。
3. 各个客户对于每种商品的需求数量是离散的，仅和表中所给的数量相对应。
4. 计划外的销量相当于一个客户的订单。
5. 各种费用与销售量的变化关系是连续的。
三、 符号说明
四、 模型的建立和求解。
4.1 模型准备。
首先对题目中的数据进行预处理，用二次曲线分别对题目中的几组数据进行拟合得到几个关系曲线如下表：
表1 变量间的拟合关系。
其中，代表每种小家电；为代表曲线的系数，每组曲线的系数在附录一中给出。
我们对所有关系曲线的拟合效果进行了分析，得到的概率值都约等于0，可见拟合效果很好，并且可以从拟合图中直接观察拟合效果很理想；我们只给出其中一条曲线的拟合效果图，如下图所示：
图1 某种产品成本与产量关系拟合曲线。
此时取值为0.00，其对应的二次曲线为：
根据题目中给出的订单信息，我们需要对有签约意向的客户（记为潜在客户）订单量和计划外的合同量进行处理。由于潜在客户和计划外的客户对十种家电的签约概率是不确定的，因此企业需要对这些订单进行分析，找出最合理的生产量。针对此情况，我们建立一个期望值模型，这样就可以得到每一个潜在客户订单量和计划外的订单量的期望值，则有：
其中为客户的订单量；为对应的订购概率。
则根据题目中已给数据可以得到各订单量的期望值如下表：
表2 意向签约和计划外客户订单量的期望值。
4.2 问题一。
4.2.1 生产方案的模型建立和求解。
公司可以以期望值给潜在客户和计划外客户进行生产，既可以减少成本损失又可以尽量多地销售产品。但是由于企业生产能力的制约，公司并不能满足每一个客户的订单要求，所以公司对每个订单都可以有两个选择，接受订单或是放弃订单，因此我们可以以公司利润为目标函数，公司对每个订单的选择为决策变量，以公司的最大生产能力为约束条件，建立01整数规划模型。对每一个已经签订合同的订单，决策变量恒为1，潜在客户和计划外的订单决策变量取值可以为0或1。
已知公司和营销部的收入和支出情况如下表：
表3 公司和营销部的收入和支出情况表。
则公司的利润=计划内销售额+计划外的上交利润-向营销部发放的经费-计划内成本，即：
已知计划内产品的销售额为：
营销部向公司上交的利润为：
公司向营销部发放的经费为：
即：则生产方案的目标函数为：
约束条件为：
通过lingo进行求解可得公司利润的最大值1628.565（万元）。
生产方案如下**：
表4 问题一的生产方案表。
4.2.2 销售方案的模型建立和求解。
通过计算得到的结果是既满足公司生产能力又尽量满足客户订单量要求的生产方案，因此我们可以在此基础上得到销售方案，利用上述模型，只改变约束条件即可，把公司的最大生产能力换为公司生产方案中的总生产量。
则目标函数如（8）式；
约束条件为：
通过lingo求解得到销售方案如下表：
表5 问题一的销售方案表。
4.3 问题二。
4.3.1 生产方案的模型建立和求解。
已知针对计划外的销售来说，营销部的产品销售量越大，则总收入就会越大，这就要求公司生产计划外产品的数量尽量大，即按照计划外客户订单量的最大量进行生产，这样就使销售部能够满足任何一个订单，进而获得最大的收入。
则可以得到生产方案如下表：
表6 问题二的生产方案表。
4.3.2 销售方案的模型建立与求解。
对销售部的整体收入来说，要使营销部的总收入极大化，就要在生产的基础上制定出合理的销售方案。既要考虑计划内的销售量极大化，又要尽量做到计划外的销售量极大化，这样就会同时保证公司向销售部发放的经费和销售利润都有极大值。
因此我们以销售部的利润最大为目标函数，公司对每个订单的选择为决策变量，公司生产能力为约束条件，建立01整数规划模型。对每一个已经签订合同的订单，决策变量恒为1，潜在客户和计划外的订单决策变量取值可以为0或1。
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