2023年长沙市初中数学创新能力大赛九年级决赛试题及答案。
一、选择题（共8小题，每小题7分，共56分。）
1、如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ c ）．
a）2c-ab）2a-2b
c）-ad）a
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以 ．
2、如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ d ）．
a）（2，3） （b）（3，－2） （c）（－2，3） （d）（3，2）
解：由题设知，，，所以。
解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.
注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
3、如果，那么的值为（ b ）．
a） （bc）2d）
解： 4、在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ b ）．
a）10b）9c）7d）5
解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2，因为均为整数，所以有。
解得 以上共计9对。
5、如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ d ）．取特殊值法a=2,b=3
（a）1 （b） （cd）
解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为。
中位数为，于是。
6、小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ d ）．
a）1b）2 （c）3 （d）4
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数。 由题设可得消去x得 (2y－7)n = y+4，2n =.
因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
7、如图，四边形abcd中，ac，bd是对角线，△abc是等边三角形．，ad = 3，bd = 5，则cd的长为（ b ）．
a） （b）4 （c） （d）4.5
解：如图，以cd为边作等边△cde，连接ae.
由于ac = bc，cd = ce，bcd=∠bca+∠acd=∠dce+∠acd =∠ace，所以△bcd≌△ace， bd = ae.
又因为，所以。
在rt△中，于是de=，所以cd = de = 4.
8、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ d ）．
a） （b） （c） （d）
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
9、按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否》487？”为一次操作。 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为。
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.
由已知得 27x－26≤487，81x－80＞487.
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，≤487≤487，故x的取值范围是。
7＜x≤19．
10、如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为 7 ．
解：由已知可得。
11、如图，正方形abcd的边长为2，e，f分别是ab，bc的中点，af与de，db分别交于点m，n，则△dmn的面积是。
8 解：连接df，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△所以。
由此得，所以。
在rt△abf中，因为，所以。
于是。由题设可知△ade≌△baf，所以， .
于是，. 又，所以。
因为，所以。
12、如图，⊙o的半径为20，是⊙o上一点。以为对角线作矩形，且。延长，与⊙o分别交于两点，则的值等于。
解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以；
所以。13、如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么的值为。
解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得
(k－3)2≤0． 又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故==．
三、解答题（共4题，共59分）
14、（本题满分14分）2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分。 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，求m的值。
解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43. …5分）
又，所以。 于是。
0≤≤43，87≤≤130，……10分）
由此得，或。
当时，；当时，，，不合题设。
故．……14分)
15、（本题满分15分）如图，四边形abcd内接于⊙o，ab是直径，ad = dc. 分别延长ba，cd，交点为e. 作bf⊥ec，并与ec的延长线交于点f.
若ae = ao，bc = 6，求cf的长。
解：如图，连接ac，bd，od.
由ab是⊙o的直径知∠bca =∠bda = 90°.
依题设∠bfc = 90°，四边形abcd是⊙o
的内接四边形，所以∠bcf =∠bad,所以 rt△bcf∽rt△bad ，因此。…(5分)
因为od是⊙o的半径，ad = cd，所以od垂直平分ac，od∥bc，
于是。 因此。…10分）
由△∽△知．因为，所以，ba=ad ，故。……15分）
16、（本题满分15分）已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围。
本题满分15分）
解： 因为当时，恒有，所以，即，所以………5分）
当时，≤；当时，≤，即≤，且 ≤，解得≤．…10分）
设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．
因为，所以，解得，或．因此． …15分）
17、（本题满分15分）已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数。 当a≥2012时，求a的最小值．
解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）. 因为(a+b)2－4ab = a－b)2，所以(2a－m)2－4n2 = m2， (2a－m+2n)(2a－m－2n) =m2.
…5分）
因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.
解得 a， .
于是 = a－m10分）
又a≥2012，即≥2012.
又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.
当时，，，因此，a的最小值为2025.
…（15分）
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